Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39068 / 42148
↖ ↑ ↗
← S 45.721522°
E 34.606934°		 ← 426.42 m → S 45.721522°
E 34.612427°		 →
↑
426.41 m
↓
↑
426.41 m
↓
S 45.725356°
E 34.606934°		 ← 426.39 m →
181 824 m²		 S 45.725356°
E 34.612427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596138000488281 y=0.643135070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596138000488281 × 216)
    floor (0.596138000488281 × 65536)
    floor (39068.5)     		tx = 39068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643135070800781 × 216)
    floor (0.643135070800781 × 65536)
    floor (42148.5)     		ty = 42148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39068 / 42148 ti = "16/39068/42148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39068/42148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39068 ÷ 216
    39068 ÷ 65536     		x = 0.59613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42148 ÷ 216
    42148 ÷ 65536     		y = 0.64312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59613037109375 × 2 - 1) × π
    0.1922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60400494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2862548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.899296236872253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60400494} λ = 0.60400494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899296236872253))-π/2
    2×atan(0.406855889183035)-π/2
    2×0.386402618613807-π/2
    0.772805237227614-1.57079632675     		φ = -0.79799109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60400494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79799109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.721522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39068 KachelY 42148 0.60400494 -0.79799109 34.606934 -45.721522
    Oben rechts KachelX + 1 39069 KachelY 42148 0.60410081 -0.79799109 34.612427 -45.721522
    Unten links KachelX 39068 KachelY + 1 42149 0.60400494 -0.79805802 34.606934 -45.725356
    Unten rechts KachelX + 1 39069 KachelY + 1 42149 0.60410081 -0.79805802 34.612427 -45.725356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79799109--0.79805802) × R
    6.69300000000206e-05 × 6371000     		dl = 426.411030000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79799109--0.79805802) × R
    6.69300000000206e-05 × 6371000     		dr = 426.411030000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60400494-0.60410081) × cos(-0.79799109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698146406346505 × 6371000     		do = 426.419286665886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60400494-0.60410081) × cos(-0.79805802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698098485913118 × 6371000     		du = 426.39001745124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79799109)-sin(-0.79805802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698146406346505-0.698098485913118)×R²
    abs(0.60410081-0.60400494)×4.7920433386861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7920433386861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7920433386861e-05×40589641000000     		ar = 181823.646948895m²