Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39066 / 41134
↖ ↑ ↗
← S 41.697526°
E 34.595947°		 ← 456.06 m → S 41.697526°
E 34.601440°		 →
↑
456.04 m
↓
↑
456.04 m
↓
S 41.701627°
E 34.595947°		 ← 456.03 m →
207 971 m²		 S 41.701627°
E 34.601440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596107482910156 y=0.627662658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596107482910156 × 216)
    floor (0.596107482910156 × 65536)
    floor (39066.5)     		tx = 39066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627662658691406 × 216)
    floor (0.627662658691406 × 65536)
    floor (41134.5)     		ty = 41134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39066 / 41134 ti = "16/39066/41134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39066/41134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39066 ÷ 216
    39066 ÷ 65536     		x = 0.596099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41134 ÷ 216
    41134 ÷ 65536     		y = 0.627655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.596099853515625 × 2 - 1) × π
    0.19219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60381319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.25531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80208020444278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60381319} λ = 0.60381319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80208020444278))-π/2
    2×atan(0.448395239515533)-π/2
    2×0.421518604866811-π/2
    0.843037209733622-1.57079632675     		φ = -0.72775912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60381319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72775912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.697526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39066 KachelY 41134 0.60381319 -0.72775912 34.595947 -41.697526
    Oben rechts KachelX + 1 39067 KachelY 41134 0.60390906 -0.72775912 34.601440 -41.697526
    Unten links KachelX 39066 KachelY + 1 41135 0.60381319 -0.72783070 34.595947 -41.701627
    Unten rechts KachelX + 1 39067 KachelY + 1 41135 0.60390906 -0.72783070 34.601440 -41.701627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72775912--0.72783070) × R
    7.1580000000071e-05 × 6371000     		dl = 456.036180000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72775912--0.72783070) × R
    7.1580000000071e-05 × 6371000     		dr = 456.036180000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60381319-0.60390906) × cos(-0.72775912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746666904959946 × 6371000     		do = 456.055013813277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60381319-0.60390906) × cos(-0.72783070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746619288166022 × 6371000     		du = 456.025930057902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72775912)-sin(-0.72783070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746666904959946-0.746619288166022)×R²
    abs(0.60390906-0.60381319)×4.76167939233996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76167939233996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76167939233996e-05×40589641000000     		ar = 207970.95483582m²