Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39064 / 41131
↖ ↑ ↗
← S 41.685220°
E 34.584961°		 ← 456.14 m → S 41.685220°
E 34.590454°		 →
↑
456.16 m
↓
↑
456.16 m
↓
S 41.689322°
E 34.584961°		 ← 456.11 m →
208 069 m²		 S 41.689322°
E 34.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596076965332031 y=0.627616882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596076965332031 × 216)
    floor (0.596076965332031 × 65536)
    floor (39064.5)     		tx = 39064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627616882324219 × 216)
    floor (0.627616882324219 × 65536)
    floor (41131.5)     		ty = 41131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39064 / 41131 ti = "16/39064/41131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39064/41131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39064 ÷ 216
    39064 ÷ 65536     		x = 0.5960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41131 ÷ 216
    41131 ÷ 65536     		y = 0.627609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5960693359375 × 2 - 1) × π
    0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.255218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.801792583045059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60362144} λ = 0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801792583045059))-π/2
    2×atan(0.448524226129819)-π/2
    2×0.421625993828465-π/2
    0.84325198765693-1.57079632675     		φ = -0.72754434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72754434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.685220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39064 KachelY 41131 0.60362144 -0.72754434 34.584961 -41.685220
    Oben rechts KachelX + 1 39065 KachelY 41131 0.60371731 -0.72754434 34.590454 -41.685220
    Unten links KachelX 39064 KachelY + 1 41132 0.60362144 -0.72761594 34.584961 -41.689322
    Unten rechts KachelX + 1 39065 KachelY + 1 41132 0.60371731 -0.72761594 34.590454 -41.689322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72754434--0.72761594) × R
    7.15999999999495e-05 × 6371000     		dl = 456.163599999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72754434--0.72761594) × R
    7.15999999999495e-05 × 6371000     		dr = 456.163599999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60362144-0.60371731) × cos(-0.72754434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746809758988083 × 6371000     		do = 456.142267306559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60362144-0.60371731) × cos(-0.72761594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746762140372289 × 6371000     		du = 456.113182438408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72754434)-sin(-0.72761594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746809758988083-0.746762140372289)×R²
    abs(0.60371731-0.60362144)×4.76186157936098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76186157936098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76186157936098e-05×40589641000000     		ar = 208068.865126299m²