Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39064 / 41128
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
E 34.584961°		 ← 456.23 m → S 41.672912°
E 34.590454°		 →
↑
456.23 m
↓
↑
456.23 m
↓
S 41.677015°
E 34.584961°		 ← 456.20 m →
208 138 m²		 S 41.677015°
E 34.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.596076965332031 y=0.627571105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.596076965332031 × 216)
    floor (0.596076965332031 × 65536)
    floor (39064.5)     		tx = 39064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627571105957031 × 216)
    floor (0.627571105957031 × 65536)
    floor (41128.5)     		ty = 41128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39064 / 41128 ti = "16/39064/41128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39064/41128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39064 ÷ 216
    39064 ÷ 65536     		x = 0.5960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41128 ÷ 216
    41128 ÷ 65536     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5960693359375 × 2 - 1) × π
    0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60362144} λ = 0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39064 KachelY 41128 0.60362144 -0.72732952 34.584961 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 39065 KachelY 41128 0.60371731 -0.72732952 34.590454 -41.672912
    Unten links KachelX 39064 KachelY + 1 41129 0.60362144 -0.72740113 34.584961 -41.677015
    Unten rechts KachelX + 1 39065 KachelY + 1 41129 0.60371731 -0.72740113 34.590454 -41.677015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72740113) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dl = 456.227309999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72740113) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dr = 456.227309999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60362144-0.60371731) × cos(-0.72732952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 456.22951600175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60362144-0.60371731) × cos(-0.72740113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		du = 456.200434088705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72740113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746904991383039)×R²
    abs(0.60371731-0.60362144)×4.76137776043162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76137776043162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76137776043162e-05×40589641000000     		ar = 208137.730935562m²