Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3906 / 5362
↖ ↑ ↗
← N 76.221675°
W137.087402°		 ← 290.94 m → N 76.221675°
W137.076416°		 →
↑
290.96 m
↓
↑
290.96 m
↓
N 76.219058°
W137.087402°		 ← 290.99 m →
84 660 m²		 N 76.219058°
W137.076416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119216918945312 y=0.163650512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119216918945312 × 215)
    floor (0.119216918945312 × 32768)
    floor (3906.5)     		tx = 3906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163650512695312 × 215)
    floor (0.163650512695312 × 32768)
    floor (5362.5)     		ty = 5362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3906 / 5362 ti = "15/3906/5362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3906/5362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3906 ÷ 215
    3906 ÷ 32768     		x = 0.11920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5362 ÷ 215
    5362 ÷ 32768     		y = 0.16363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.7615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.39262653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16363525390625 × 2 - 1) × π
    0.6727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11344203044904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.39262653} λ = -2.39262653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11344203044904))-π/2
    2×atan(8.27668089921066)-π/2
    2×1.45055776055194-π/2
    2.90111552110389-1.57079632675     		φ = 1.33031919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.39262653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.087402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33031919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.221675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3906 KachelY 5362 -2.39262653 1.33031919 -137.087402 76.221675
    Oben rechts KachelX + 1 3907 KachelY 5362 -2.39243479 1.33031919 -137.076416 76.221675
    Unten links KachelX 3906 KachelY + 1 5363 -2.39262653 1.33027352 -137.087402 76.219058
    Unten rechts KachelX + 1 3907 KachelY + 1 5363 -2.39243479 1.33027352 -137.076416 76.219058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33031919-1.33027352) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dl = 290.963569999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33031919-1.33027352) × R
    4.56699999999977e-05 × 6371000     		dr = 290.963569999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.39262653--2.39243479) × cos(1.33031919) × R
    0.000191739999999996 × 0.238166060439999 × 6371000     		do = 290.937833891658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.39262653--2.39243479) × cos(1.33027352) × R
    0.000191739999999996 × 0.238210416012129 × 6371000     		du = 290.992017573635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33031919)-sin(1.33027352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238166060439999-0.238210416012129)×R²
    abs(-2.39243479--2.39262653)×4.43555721300615e-05×R²
    0.000191739999999996×4.43555721300615e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.43555721300615e-05×40589641000000     		ar = 84660.1935503544m²