Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3906 / 4761
↖ ↑ ↗
← S 28.033198°
W  8.349609°		 ← 4 313.19 m → S 28.033198°
W  8.305664°		 →
↑
4 312.40 m
↓
↑
4 312.40 m
↓
S 28.071980°
W  8.349609°		 ← 4 311.63 m →
18 596 847 m²		 S 28.071980°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47686767578125 y=0.58123779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47686767578125 × 213)
    floor (0.47686767578125 × 8192)
    floor (3906.5)     		tx = 3906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58123779296875 × 213)
    floor (0.58123779296875 × 8192)
    floor (4761.5)     		ty = 4761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3906 / 4761 ti = "13/3906/4761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3906/4761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3906 ÷ 213
    3906 ÷ 8192     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4761 ÷ 213
    4761 ÷ 8192     		y = 0.5811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510048611957397))-π/2
    2×atan(0.600466388256282)-π/2
    2×0.540762362251412-π/2
    1.08152472450282-1.57079632675     		φ = -0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3906 KachelY 4761 -0.14572817 -0.48927160 -8.349609 -28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 3907 KachelY 4761 -0.14496118 -0.48927160 -8.305664 -28.033198
    Unten links KachelX 3906 KachelY + 1 4762 -0.14572817 -0.48994848 -8.349609 -28.071980
    Unten rechts KachelX + 1 3907 KachelY + 1 4762 -0.14496118 -0.48994848 -8.305664 -28.071980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48927160--0.48994848) × R
    0.000676880000000046 × 6371000     		dl = 4312.4024800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48927160--0.48994848) × R
    0.000676880000000046 × 6371000     		dr = 4312.4024800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(-0.48927160) × R
    0.000766989999999995 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 4313.18755816651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(-0.48994848) × R
    0.000766989999999995 × 0.882357104084877 × 6371000     		du = 4311.63206849455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48927160)-sin(-0.48994848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882357104084877)×R²
    abs(-0.14496118--0.14572817)×0.000318324323730912×R²
    0.000766989999999995×0.000318324323730912×6371000²
    0.000766989999999995×0.000318324323730912×40589641000000     		ar = 18596847.4838224m²