Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3906 / 2182
↖ ↑ ↗
← N 64.052978°
W  8.349609°		 ← 2 138.04 m → N 64.052978°
W  8.305664°		 →
↑
2 138.81 m
↓
↑
2 138.81 m
↓
N 64.033744°
W  8.349609°		 ← 2 139.51 m →
4 574 426 m²		 N 64.033744°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47686767578125 y=0.26641845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47686767578125 × 213)
    floor (0.47686767578125 × 8192)
    floor (3906.5)     		tx = 3906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26641845703125 × 213)
    floor (0.26641845703125 × 8192)
    floor (2182.5)     		ty = 2182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3906 / 2182 ti = "13/3906/2182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3906/2182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3906 ÷ 213
    3906 ÷ 8192     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2182 ÷ 213
    2182 ÷ 8192     		y = 0.266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266357421875 × 2 - 1) × π
    0.46728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4680196139646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4680196139646))-π/2
    2×atan(4.34063049959284)-π/2
    2×1.34436584761437-π/2
    2.68873169522873-1.57079632675     		φ = 1.11793537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11793537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.052978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3906 KachelY 2182 -0.14572817 1.11793537 -8.349609 64.052978
    Oben rechts KachelX + 1 3907 KachelY 2182 -0.14496118 1.11793537 -8.305664 64.052978
    Unten links KachelX 3906 KachelY + 1 2183 -0.14572817 1.11759966 -8.349609 64.033744
    Unten rechts KachelX + 1 3907 KachelY + 1 2183 -0.14496118 1.11759966 -8.305664 64.033744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11793537-1.11759966) × R
    0.0003357100000001 × 6371000     		dl = 2138.80841000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11793537-1.11759966) × R
    0.0003357100000001 × 6371000     		dr = 2138.80841000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(1.11793537) × R
    0.000766989999999995 × 0.437539890741556 × 6371000     		do = 2138.03574021593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(1.11759966) × R
    0.000766989999999995 × 0.437841736176989 × 6371000     		du = 2139.51070591079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11793537)-sin(1.11759966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437539890741556-0.437841736176989)×R²
    abs(-0.14496118--0.14572817)×0.00030184543543349×R²
    0.000766989999999995×0.00030184543543349×6371000²
    0.000766989999999995×0.00030184543543349×40589641000000     		ar = 4574426.19953306m²