Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3906 / 2133
↖ ↑ ↗
← N 64.979359°
W  8.349609°		 ← 2 066.72 m → N 64.979359°
W  8.305664°		 →
↑
2 067.39 m
↓
↑
2 067.39 m
↓
N 64.960766°
W  8.349609°		 ← 2 068.15 m →
4 274 193 m²		 N 64.960766°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47686767578125 y=0.26043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47686767578125 × 213)
    floor (0.47686767578125 × 8192)
    floor (3906.5)     		tx = 3906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26043701171875 × 213)
    floor (0.26043701171875 × 8192)
    floor (2133.5)     		ty = 2133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3906 / 2133 ti = "13/3906/2133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3906/2133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3906 ÷ 213
    3906 ÷ 8192     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2133 ÷ 213
    2133 ÷ 8192     		y = 0.2603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2603759765625 × 2 - 1) × π
    0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50560214326672))-π/2
    2×atan(4.50686659278333)-π/2
    2×1.35245004550057-π/2
    2.70490009100114-1.57079632675     		φ = 1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3906 KachelY 2133 -0.14572817 1.13410376 -8.349609 64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 3907 KachelY 2133 -0.14496118 1.13410376 -8.305664 64.979359
    Unten links KachelX 3906 KachelY + 1 2134 -0.14572817 1.13377926 -8.349609 64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 3907 KachelY + 1 2134 -0.14496118 1.13377926 -8.305664 64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13410376-1.13377926) × R
    0.000324499999999839 × 6371000     		dl = 2067.38949999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13410376-1.13377926) × R
    0.000324499999999839 × 6371000     		dr = 2067.38949999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(1.13410376) × R
    0.000766989999999995 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 2066.71661025481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14496118) × cos(1.13377926) × R
    0.000766989999999995 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 2068.15336232146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13410376)-sin(1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.423238760309742)×R²
    abs(-0.14496118--0.14572817)×0.000294025179485569×R²
    0.000766989999999995×0.000294025179485569×6371000²
    0.000766989999999995×0.000294025179485569×40589641000000     		ar = 4274193.42008735m²