Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39052 / 19075
↖ ↑ ↗
← N 77.691114°
W 72.740479°		 ← 65.11 m → N 77.691114°
W 72.737732°		 →
↑
65.11 m
↓
↑
65.11 m
↓
N 77.690529°
W 72.740479°		 ← 65.11 m →
4 240 m²		 N 77.690529°
W 72.737732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.297946929931641 y=0.145534515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.297946929931641 × 217)
    floor (0.297946929931641 × 131072)
    floor (39052.5)     		tx = 39052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145534515380859 × 217)
    floor (0.145534515380859 × 131072)
    floor (19075.5)     		ty = 19075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39052 / 19075 ti = "17/39052/19075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39052/19075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39052 ÷ 217
    39052 ÷ 131072     		x = 0.297943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19075 ÷ 217
    19075 ÷ 131072     		y = 0.145530700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.297943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.40411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.26956085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145530700683594 × 2 - 1) × π
    0.708938598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.22719629324743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.26956085} λ = -1.26956085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22719629324743))-π/2
    2×atan(9.27382850008341)-π/2
    2×1.46338103189516-π/2
    2.92676206379032-1.57079632675     		φ = 1.35596574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.26956085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.740479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35596574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.691114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39052 KachelY 19075 -1.26956085 1.35596574 -72.740479 77.691114
    Oben rechts KachelX + 1 39053 KachelY 19075 -1.26951291 1.35596574 -72.737732 77.691114
    Unten links KachelX 39052 KachelY + 1 19076 -1.26956085 1.35595552 -72.740479 77.690529
    Unten rechts KachelX + 1 39053 KachelY + 1 19076 -1.26951291 1.35595552 -72.737732 77.690529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35596574-1.35595552) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dl = 65.1116200003869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35596574-1.35595552) × R
    1.02200000000607e-05 × 6371000     		dr = 65.1116200003869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.26956085--1.26951291) × cos(1.35596574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213181912537696 × 6371000     		do = 65.1112433913985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.26956085--1.26951291) × cos(1.35595552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213191897594559 × 6371000     		du = 65.1142930847797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35596574)-sin(1.35595552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213181912537696-0.213191897594559)×R²
    abs(-1.26951291--1.26956085)×9.98505686250484e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.98505686250484e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.98505686250484e-06×40589641000000     		ar = 4239.5978227839m²