Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3905 / 1729
↖ ↑ ↗
← N 71.510978°
W  8.393555°		 ← 1 549.64 m → N 71.510978°
W  8.349609°		 →
↑
1 550.19 m
↓
↑
1 550.19 m
↓
N 71.497037°
W  8.393555°		 ← 1 550.77 m →
2 403 112 m²		 N 71.497037°
W  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47674560546875 y=0.21112060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47674560546875 × 213)
    floor (0.47674560546875 × 8192)
    floor (3905.5)     		tx = 3905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21112060546875 × 213)
    floor (0.21112060546875 × 8192)
    floor (1729.5)     		ty = 1729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3905 / 1729 ti = "13/3905/1729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3905/1729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3905 ÷ 213
    3905 ÷ 8192     		x = 0.4766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1729 ÷ 213
    1729 ÷ 8192     		y = 0.2110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2110595703125 × 2 - 1) × π
    0.577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81546626241077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14649517} λ = -0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81546626241077))-π/2
    2×atan(6.14394019806883)-π/2
    2×1.40944917242884-π/2
    2.81889834485768-1.57079632675     		φ = 1.24810202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24810202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.510978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3905 KachelY 1729 -0.14649517 1.24810202 -8.393555 71.510978
    Oben rechts KachelX + 1 3906 KachelY 1729 -0.14572817 1.24810202 -8.349609 71.510978
    Unten links KachelX 3905 KachelY + 1 1730 -0.14649517 1.24785870 -8.393555 71.497037
    Unten rechts KachelX + 1 3906 KachelY + 1 1730 -0.14572817 1.24785870 -8.349609 71.497037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24810202-1.24785870) × R
    0.000243319999999825 × 6371000     		dl = 1550.19171999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24810202-1.24785870) × R
    0.000243319999999825 × 6371000     		dr = 1550.19171999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14649517--0.14572817) × cos(1.24810202) × R
    0.000767000000000018 × 0.317122947194593 × 6371000     		do = 1549.6393574744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14649517--0.14572817) × cos(1.24785870) × R
    0.000767000000000018 × 0.317353698705443 × 6371000     		du = 1550.76693788501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24810202)-sin(1.24785870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317122947194593-0.317353698705443)×R²
    abs(-0.14572817--0.14649517)×0.000230751510850835×R²
    0.000767000000000018×0.000230751510850835×6371000²
    0.000767000000000018×0.000230751510850835×40589641000000     		ar = 2403112.09570689m²