Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39044 / 42115
↖ ↑ ↗
← S 45.594822°
E 34.475097°		 ← 427.43 m → S 45.594822°
E 34.480591°		 →
↑
427.37 m
↓
↑
427.37 m
↓
S 45.598666°
E 34.475097°		 ← 427.40 m →
182 663 m²		 S 45.598666°
E 34.480591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595771789550781 y=0.642631530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595771789550781 × 216)
    floor (0.595771789550781 × 65536)
    floor (39044.5)     		tx = 39044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642631530761719 × 216)
    floor (0.642631530761719 × 65536)
    floor (42115.5)     		ty = 42115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39044 / 42115 ti = "16/39044/42115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39044/42115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39044 ÷ 216
    39044 ÷ 65536     		x = 0.59576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42115 ÷ 216
    42115 ÷ 65536     		y = 0.642623901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59576416015625 × 2 - 1) × π
    0.1915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.60170396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.285247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.89613240149733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60170396} λ = 0.60170396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89613240149733))-π/2
    2×atan(0.408145152670999)-π/2
    2×0.387508279642284-π/2
    0.775016559284569-1.57079632675     		φ = -0.79577977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60170396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.475097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79577977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.594822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39044 KachelY 42115 0.60170396 -0.79577977 34.475097 -45.594822
    Oben rechts KachelX + 1 39045 KachelY 42115 0.60179984 -0.79577977 34.480591 -45.594822
    Unten links KachelX 39044 KachelY + 1 42116 0.60170396 -0.79584685 34.475097 -45.598666
    Unten rechts KachelX + 1 39045 KachelY + 1 42116 0.60179984 -0.79584685 34.480591 -45.598666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79577977--0.79584685) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dl = 427.366679999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79577977--0.79584685) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dr = 427.366679999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60170396-0.60179984) × cos(-0.79577977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.699727903773228 × 6371000     		do = 427.429825616894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60170396-0.60179984) × cos(-0.79584685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		du = 427.400551072776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79577977)-sin(-0.79584685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699727903773228-0.69967997961314)×R²
    abs(0.60179984-0.60170396)×4.7924160088475e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7924160088475e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7924160088475e-05×40589641000000     		ar = 182663.010093046m²