Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3904 / 12864
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
W 94.218750°		 ← 792.45 m → S 71.074057°
W 94.196777°		 →
↑
792.30 m
↓
↑
792.30 m
↓
S 71.081182°
W 94.218750°		 ← 792.16 m →
627 739 m²		 S 71.081182°
W 94.196777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.238311767578125 y=0.785186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.238311767578125 × 214)
    floor (0.238311767578125 × 16384)
    floor (3904.5)     		tx = 3904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785186767578125 × 214)
    floor (0.785186767578125 × 16384)
    floor (12864.5)     		ty = 12864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3904 / 12864 ti = "14/3904/12864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3904/12864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3904 ÷ 214
    3904 ÷ 16384     		x = 0.23828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12864 ÷ 214
    12864 ÷ 16384     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23828125 × 2 - 1) × π
    -0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64442740} λ = -1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3904 KachelY 12864 -1.64442740 -1.24047630 -94.218750 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 3905 KachelY 12864 -1.64404391 -1.24047630 -94.196777 -71.074057
    Unten links KachelX 3904 KachelY + 1 12865 -1.64442740 -1.24060066 -94.218750 -71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 3905 KachelY + 1 12865 -1.64404391 -1.24060066 -94.196777 -71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24060066) × R
    0.000124359999999824 × 6371000     		dl = 792.297559998875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24060066) × R
    0.000124359999999824 × 6371000     		dr = 792.297559998875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64442740--1.64404391) × cos(-1.24047630) × R
    0.000383490000000153 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 792.446384036178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64442740--1.64404391) × cos(-1.24060066) × R
    0.000383490000000153 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 792.158965638113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324228131263808)×R²
    abs(-1.64404391--1.64442740)×0.00011763943114651×R²
    0.000383490000000153×0.00011763943114651×6371000²
    0.000383490000000153×0.00011763943114651×40589641000000     		ar = 627739.476862459m²