Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39029 / 28577
↖ ↑ ↗
← N 22.426263°
E 34.392700°		 ← 564.59 m → N 22.426263°
E 34.398193°		 →
↑
564.60 m
↓
↑
564.60 m
↓
N 22.421185°
E 34.392700°		 ← 564.62 m →
318 775 m²		 N 22.421185°
E 34.398193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595542907714844 y=0.436058044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595542907714844 × 216)
    floor (0.595542907714844 × 65536)
    floor (39029.5)     		tx = 39029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436058044433594 × 216)
    floor (0.436058044433594 × 65536)
    floor (28577.5)     		ty = 28577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39029 / 28577 ti = "16/39029/28577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39029/28577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39029 ÷ 216
    39029 ÷ 65536     		x = 0.595535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28577 ÷ 216
    28577 ÷ 65536     		y = 0.436050415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595535278320312 × 2 - 1) × π
    0.191070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60026586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    0.127899169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.401807092615311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60026586} λ = 0.60026586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401807092615311))-π/2
    2×atan(1.49452300034286)-π/2
    2×0.981104223391597-π/2
    1.96220844678319-1.57079632675     		φ = 0.39141212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60026586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.392700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39141212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.426263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39029 KachelY 28577 0.60026586 0.39141212 34.392700 22.426263
    Oben rechts KachelX + 1 39030 KachelY 28577 0.60036173 0.39141212 34.398193 22.426263
    Unten links KachelX 39029 KachelY + 1 28578 0.60026586 0.39132350 34.392700 22.421185
    Unten rechts KachelX + 1 39030 KachelY + 1 28578 0.60036173 0.39132350 34.398193 22.421185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39141212-0.39132350) × R
    8.86199999999837e-05 × 6371000     		dl = 564.598019999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39141212-0.39132350) × R
    8.86199999999837e-05 × 6371000     		dr = 564.598019999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60026586-0.60036173) × cos(0.39141212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924371266198463 × 6371000     		do = 564.594664333423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60026586-0.60036173) × cos(0.39132350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.924405070577397 × 6371000     		du = 564.615311634649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39141212)-sin(0.39132350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924371266198463-0.924405070577397)×R²
    abs(0.60036173-0.60026586)×3.3804378934299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3804378934299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3804378934299e-05×40589641000000     		ar = 318774.858506346m²