Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39022 / 29484
↖ ↑ ↗
← N 17.748687°
E 34.354248°		 ← 581.72 m → N 17.748687°
E 34.359741°		 →
↑
581.74 m
↓
↑
581.74 m
↓
N 17.743455°
E 34.354248°		 ← 581.73 m →
338 410 m²		 N 17.743455°
E 34.359741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595436096191406 y=0.449897766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595436096191406 × 216)
    floor (0.595436096191406 × 65536)
    floor (39022.5)     		tx = 39022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449897766113281 × 216)
    floor (0.449897766113281 × 65536)
    floor (29484.5)     		ty = 29484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39022 / 29484 ti = "16/39022/29484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39022/29484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39022 ÷ 216
    39022 ÷ 65536     		x = 0.595428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29484 ÷ 216
    29484 ÷ 65536     		y = 0.44989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595428466796875 × 2 - 1) × π
    0.19085693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59959474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44989013671875 × 2 - 1) × π
    0.1002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314849556704529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59959474} λ = 0.59959474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314849556704529))-π/2
    2×atan(1.37005318013649)-π/2
    2×0.940284673381881-π/2
    1.88056934676376-1.57079632675     		φ = 0.30977302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59959474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.354248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30977302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.748687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39022 KachelY 29484 0.59959474 0.30977302 34.354248 17.748687
    Oben rechts KachelX + 1 39023 KachelY 29484 0.59969061 0.30977302 34.359741 17.748687
    Unten links KachelX 39022 KachelY + 1 29485 0.59959474 0.30968171 34.354248 17.743455
    Unten rechts KachelX + 1 39023 KachelY + 1 29485 0.59969061 0.30968171 34.359741 17.743455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30977302-0.30968171) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dl = 581.736010000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30977302-0.30968171) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dr = 581.736010000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59959474-0.59969061) × cos(0.30977302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952402787562344 × 6371000     		do = 581.715974756975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59959474-0.59969061) × cos(0.30968171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952430618757714 × 6371000     		du = 581.732973710731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30977302)-sin(0.30968171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952402787562344-0.952430618757714)×R²
    abs(0.59969061-0.59959474)×2.78311953697541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78311953697541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78311953697541e-05×40589641000000     		ar = 338410.074795259m²