Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3902 / 2509
↖ ↑ ↗
← N 57.016814°
W  8.525391°		 ← 2 660.17 m → N 57.016814°
W  8.481446°		 →
↑
2 660.98 m
↓
↑
2 660.98 m
↓
N 56.992883°
W  8.525391°		 ← 2 661.88 m →
7 080 931 m²		 N 56.992883°
W  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47637939453125 y=0.30633544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47637939453125 × 213)
    floor (0.47637939453125 × 8192)
    floor (3902.5)     		tx = 3902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30633544921875 × 213)
    floor (0.30633544921875 × 8192)
    floor (2509.5)     		ty = 2509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3902 / 2509 ti = "13/3902/2509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3902/2509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3902 ÷ 213
    3902 ÷ 8192     		x = 0.476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2509 ÷ 213
    2509 ÷ 8192     		y = 0.3062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3062744140625 × 2 - 1) × π
    0.387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21721375515247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14879614} λ = -0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21721375515247))-π/2
    2×atan(3.37776333468931)-π/2
    2×1.28296373018834-π/2
    2.56592746037669-1.57079632675     		φ = 0.99513113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99513113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.016814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3902 KachelY 2509 -0.14879614 0.99513113 -8.525391 57.016814
    Oben rechts KachelX + 1 3903 KachelY 2509 -0.14802915 0.99513113 -8.481446 57.016814
    Unten links KachelX 3902 KachelY + 1 2510 -0.14879614 0.99471346 -8.525391 56.992883
    Unten rechts KachelX + 1 3903 KachelY + 1 2510 -0.14802915 0.99471346 -8.481446 56.992883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99513113-0.99471346) × R
    0.000417669999999926 × 6371000     		dl = 2660.97556999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99513113-0.99471346) × R
    0.000417669999999926 × 6371000     		dr = 2660.97556999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(0.99513113) × R
    0.000766989999999995 × 0.544392898352499 × 6371000     		do = 2660.17224492312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(0.99471346) × R
    0.000766989999999995 × 0.544743205134429 × 6371000     		du = 2661.88401666246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99513113)-sin(0.99471346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544392898352499-0.544743205134429)×R²
    abs(-0.14802915--0.14879614)×0.000350306781929044×R²
    0.000766989999999995×0.000350306781929044×6371000²
    0.000766989999999995×0.000350306781929044×40589641000000     		ar = 7080930.95005844m²