Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3902 / 2480
↖ ↑ ↗
← N 57.704147°
W  8.525391°		 ← 2 610.81 m → N 57.704147°
W  8.481446°		 →
↑
2 611.66 m
↓
↑
2 611.66 m
↓
N 57.680660°
W  8.525391°		 ← 2 612.50 m →
6 820 770 m²		 N 57.680660°
W  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47637939453125 y=0.30279541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47637939453125 × 213)
    floor (0.47637939453125 × 8192)
    floor (3902.5)     		tx = 3902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30279541015625 × 213)
    floor (0.30279541015625 × 8192)
    floor (2480.5)     		ty = 2480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3902 / 2480 ti = "13/3902/2480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3902/2480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3902 ÷ 213
    3902 ÷ 8192     		x = 0.476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2480 ÷ 213
    2480 ÷ 8192     		y = 0.302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302734375 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23945647657617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14879614} λ = -0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23945647657617))-π/2
    2×atan(3.45373576823313)-π/2
    2×1.28896184403541-π/2
    2.57792368807082-1.57079632675     		φ = 1.00712736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00712736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.704147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3902 KachelY 2480 -0.14879614 1.00712736 -8.525391 57.704147
    Oben rechts KachelX + 1 3903 KachelY 2480 -0.14802915 1.00712736 -8.481446 57.704147
    Unten links KachelX 3902 KachelY + 1 2481 -0.14879614 1.00671743 -8.525391 57.680660
    Unten rechts KachelX + 1 3903 KachelY + 1 2481 -0.14802915 1.00671743 -8.481446 57.680660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00712736-1.00671743) × R
    0.000409930000000003 × 6371000     		dl = 2611.66403000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00712736-1.00671743) × R
    0.000409930000000003 × 6371000     		dr = 2611.66403000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(1.00712736) × R
    0.000766989999999995 × 0.534291166586826 × 6371000     		do = 2610.81020043278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(1.00671743) × R
    0.000766989999999995 × 0.534637635722644 × 6371000     		du = 2612.50321954015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00712736)-sin(1.00671743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534291166586826-0.534637635722644)×R²
    abs(-0.14802915--0.14879614)×0.000346469135817484×R²
    0.000766989999999995×0.000346469135817484×6371000²
    0.000766989999999995×0.000346469135817484×40589641000000     		ar = 6820769.98369418m²