Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3902 / 1630
↖ ↑ ↗
← N 72.842021°
W  8.525391°		 ← 1 441.55 m → N 72.842021°
W  8.481446°		 →
↑
1 442.08 m
↓
↑
1 442.08 m
↓
N 72.829052°
W  8.525391°		 ← 1 442.61 m →
2 079 589 m²		 N 72.829052°
W  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47637939453125 y=0.19903564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47637939453125 × 213)
    floor (0.47637939453125 × 8192)
    floor (3902.5)     		tx = 3902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19903564453125 × 213)
    floor (0.19903564453125 × 8192)
    floor (1630.5)     		ty = 1630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3902 / 1630 ti = "13/3902/1630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3902/1630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3902 ÷ 213
    3902 ÷ 8192     		x = 0.476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1630 ÷ 213
    1630 ÷ 8192     		y = 0.198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198974609375 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89139831140894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14879614} λ = -0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89139831140894))-π/2
    2×atan(6.62863109414948)-π/2
    2×1.42106471448185-π/2
    2.84212942896369-1.57079632675     		φ = 1.27133310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27133310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.842021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3902 KachelY 1630 -0.14879614 1.27133310 -8.525391 72.842021
    Oben rechts KachelX + 1 3903 KachelY 1630 -0.14802915 1.27133310 -8.481446 72.842021
    Unten links KachelX 3902 KachelY + 1 1631 -0.14879614 1.27110675 -8.525391 72.829052
    Unten rechts KachelX + 1 3903 KachelY + 1 1631 -0.14802915 1.27110675 -8.481446 72.829052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27133310-1.27110675) × R
    0.000226350000000153 × 6371000     		dl = 1442.07585000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27133310-1.27110675) × R
    0.000226350000000153 × 6371000     		dr = 1442.07585000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(1.27133310) × R
    0.000766989999999995 × 0.295007365083296 × 6371000     		do = 1441.5515099801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14879614--0.14802915) × cos(1.27110675) × R
    0.000766989999999995 × 0.295223633812653 × 6371000     		du = 1442.60830567494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27133310)-sin(1.27110675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295007365083296-0.295223633812653)×R²
    abs(-0.14802915--0.14879614)×0.000216268729357594×R²
    0.000766989999999995×0.000216268729357594×6371000²
    0.000766989999999995×0.000216268729357594×40589641000000     		ar = 2079588.61772638m²