Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3902 / 12862
↖ ↑ ↗
← S 71.059798°
W 94.262695°		 ← 793.02 m → S 71.059798°
W 94.240723°		 →
↑
792.87 m
↓
↑
792.87 m
↓
S 71.066928°
W 94.262695°		 ← 792.73 m →
628 650 m²		 S 71.066928°
W 94.240723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.238189697265625 y=0.785064697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.238189697265625 × 214)
    floor (0.238189697265625 × 16384)
    floor (3902.5)     		tx = 3902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785064697265625 × 214)
    floor (0.785064697265625 × 16384)
    floor (12862.5)     		ty = 12862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3902 / 12862 ti = "14/3902/12862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3902/12862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3902 ÷ 214
    3902 ÷ 16384     		x = 0.2381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12862 ÷ 214
    12862 ÷ 16384     		y = 0.7850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.64519439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.64519439} λ = -1.64519439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7909225698053))-π/2
    2×atan(0.166806208286799)-π/2
    2×0.165284444566597-π/2
    0.330568889133193-1.57079632675     		φ = -1.24022744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.64519439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24022744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.059798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3902 KachelY 12862 -1.64519439 -1.24022744 -94.262695 -71.059798
    Oben rechts KachelX + 1 3903 KachelY 12862 -1.64481090 -1.24022744 -94.240723 -71.059798
    Unten links KachelX 3902 KachelY + 1 12863 -1.64519439 -1.24035189 -94.262695 -71.066928
    Unten rechts KachelX + 1 3903 KachelY + 1 12863 -1.64481090 -1.24035189 -94.240723 -71.066928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24022744--1.24035189) × R
    0.000124449999999943 × 6371000     		dl = 792.870949999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24022744--1.24035189) × R
    0.000124449999999943 × 6371000     		dr = 792.870949999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.64519439--1.64481090) × cos(-1.24022744) × R
    0.000383489999999931 × 0.32458116692711 × 6371000     		do = 793.021507591631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.64519439--1.64481090) × cos(-1.24035189) × R
    0.000383489999999931 × 0.324463452404873 × 6371000     		du = 792.733905729905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24022744)-sin(-1.24035189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32458116692711-0.324463452404873)×R²
    abs(-1.64481090--1.64519439)×0.000117714522236634×R²
    0.000383489999999931×0.000117714522236634×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117714522236634×40589641000000     		ar = 628649.701325965m²