Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39019 / 29483
↖ ↑ ↗
← N 17.753918°
E 34.337769°		 ← 581.70 m → N 17.753918°
E 34.343262°		 →
↑
581.74 m
↓
↑
581.74 m
↓
N 17.748687°
E 34.337769°		 ← 581.72 m →
338 400 m²		 N 17.748687°
E 34.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595390319824219 y=0.449882507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595390319824219 × 216)
    floor (0.595390319824219 × 65536)
    floor (39019.5)     		tx = 39019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449882507324219 × 216)
    floor (0.449882507324219 × 65536)
    floor (29483.5)     		ty = 29483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39019 / 29483 ti = "16/39019/29483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39019/29483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39019 ÷ 216
    39019 ÷ 65536     		x = 0.595382690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29483 ÷ 216
    29483 ÷ 65536     		y = 0.449874877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595382690429688 × 2 - 1) × π
    0.190765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59930712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449874877929688 × 2 - 1) × π
    0.100250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314945430503769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59930712} λ = 0.59930712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314945430503769))-π/2
    2×atan(1.37018453863685)-π/2
    2×0.94033032795148-π/2
    1.88066065590296-1.57079632675     		φ = 0.30986433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59930712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.337769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30986433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.753918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39019 KachelY 29483 0.59930712 0.30986433 34.337769 17.753918
    Oben rechts KachelX + 1 39020 KachelY 29483 0.59940299 0.30986433 34.343262 17.753918
    Unten links KachelX 39019 KachelY + 1 29484 0.59930712 0.30977302 34.337769 17.748687
    Unten rechts KachelX + 1 39020 KachelY + 1 29484 0.59940299 0.30977302 34.343262 17.748687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30986433-0.30977302) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dl = 581.736010000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30986433-0.30977302) × R
    9.13100000000111e-05 × 6371000     		dr = 581.736010000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59930712-0.59940299) × cos(0.30986433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952374948426301 × 6371000     		do = 581.698970953153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59930712-0.59940299) × cos(0.30977302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952402787562344 × 6371000     		du = 581.715974756975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30986433)-sin(0.30977302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952374948426301-0.952402787562344)×R²
    abs(0.59940299-0.59930712)×2.78391360432062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78391360432062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78391360432062e-05×40589641000000     		ar = 338400.184481067m²