Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39015 / 29001
↖ ↑ ↗
← N 20.257044°
E 34.315796°		 ← 573.07 m → N 20.257044°
E 34.321289°		 →
↑
573.01 m
↓
↑
573.01 m
↓
N 20.251891°
E 34.315796°		 ← 573.09 m →
328 379 m²		 N 20.251891°
E 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595329284667969 y=0.442527770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595329284667969 × 216)
    floor (0.595329284667969 × 65536)
    floor (39015.5)     		tx = 39015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442527770996094 × 216)
    floor (0.442527770996094 × 65536)
    floor (29001.5)     		ty = 29001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39015 / 29001 ti = "16/39015/29001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39015/29001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39015 ÷ 216
    39015 ÷ 65536     		x = 0.595321655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29001 ÷ 216
    29001 ÷ 65536     		y = 0.442520141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595321655273438 × 2 - 1) × π
    0.190643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59892362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.361156601737503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59892362} λ = 0.59892362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361156601737503))-π/2
    2×atan(1.4349881649235)-π/2
    2×0.962174218948383-π/2
    1.92434843789677-1.57079632675     		φ = 0.35355211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59892362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.315796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35355211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.257044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39015 KachelY 29001 0.59892362 0.35355211 34.315796 20.257044
    Oben rechts KachelX + 1 39016 KachelY 29001 0.59901950 0.35355211 34.321289 20.257044
    Unten links KachelX 39015 KachelY + 1 29002 0.59892362 0.35346217 34.315796 20.251891
    Unten rechts KachelX + 1 39016 KachelY + 1 29002 0.59901950 0.35346217 34.321289 20.251891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35355211-0.35346217) × R
    8.99399999999551e-05 × 6371000     		dl = 573.007739999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35355211-0.35346217) × R
    8.99399999999551e-05 × 6371000     		dr = 573.007739999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59892362-0.59901950) × cos(0.35355211) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		do = 573.069569760396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59892362-0.59901950) × cos(0.35346217) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.938179914770263 × 6371000     		du = 573.088589443977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35355211)-sin(0.35346217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938148778423371-0.938179914770263)×R²
    abs(0.59901950-0.59892362)×3.11363468916692e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.11363468916692e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.11363468916692e-05×40589641000000     		ar = 328378.748465125m²