Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39012 / 29541
↖ ↑ ↗
← N 17.450232°
E 34.299316°		 ← 582.74 m → N 17.450232°
E 34.304810°		 →
↑
582.69 m
↓
↑
582.69 m
↓
N 17.444992°
E 34.299316°		 ← 582.76 m →
339 562 m²		 N 17.444992°
E 34.304810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595283508300781 y=0.450767517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595283508300781 × 216)
    floor (0.595283508300781 × 65536)
    floor (39012.5)     		tx = 39012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450767517089844 × 216)
    floor (0.450767517089844 × 65536)
    floor (29541.5)     		ty = 29541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39012 / 29541 ti = "16/39012/29541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39012/29541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39012 ÷ 216
    39012 ÷ 65536     		x = 0.59527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29541 ÷ 216
    29541 ÷ 65536     		y = 0.450759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59527587890625 × 2 - 1) × π
    0.1905517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59863600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    0.098480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.309384750147842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59863600} λ = 0.59863600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309384750147842))-π/2
    2×atan(1.36258652502964)-π/2
    2×0.937680167819313-π/2
    1.87536033563863-1.57079632675     		φ = 0.30456401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59863600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.299316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30456401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.450232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39012 KachelY 29541 0.59863600 0.30456401 34.299316 17.450232
    Oben rechts KachelX + 1 39013 KachelY 29541 0.59873188 0.30456401 34.304810 17.450232
    Unten links KachelX 39012 KachelY + 1 29542 0.59863600 0.30447255 34.299316 17.444992
    Unten rechts KachelX + 1 39013 KachelY + 1 29542 0.59873188 0.30447255 34.304810 17.444992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30456401-0.30447255) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dl = 582.691659999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30456401-0.30447255) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dr = 582.691659999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59863600-0.59873188) × cos(0.30456401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.953977786727954 × 6371000     		do = 582.738742910188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59863600-0.59873188) × cos(0.30447255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.954005209513869 × 6371000     		du = 582.755494159549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30456401)-sin(0.30447255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953977786727954-0.954005209513869)×R²
    abs(0.59873188-0.59863600)×2.74227859149434e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.74227859149434e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.74227859149434e-05×40589641000000     		ar = 339561.886095956m²