Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39011 / 29541
↖ ↑ ↗
← N 17.450232°
E 34.293823°		 ← 582.68 m → N 17.450232°
E 34.299316°		 →
↑
582.69 m
↓
↑
582.69 m
↓
N 17.444992°
E 34.293823°		 ← 582.69 m →
339 526 m²		 N 17.444992°
E 34.299316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595268249511719 y=0.450767517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595268249511719 × 216)
    floor (0.595268249511719 × 65536)
    floor (39011.5)     		tx = 39011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450767517089844 × 216)
    floor (0.450767517089844 × 65536)
    floor (29541.5)     		ty = 29541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39011 / 29541 ti = "16/39011/29541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39011/29541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39011 ÷ 216
    39011 ÷ 65536     		x = 0.595260620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29541 ÷ 216
    29541 ÷ 65536     		y = 0.450759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595260620117188 × 2 - 1) × π
    0.190521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59854013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    0.098480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.309384750147842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59854013} λ = 0.59854013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309384750147842))-π/2
    2×atan(1.36258652502964)-π/2
    2×0.937680167819313-π/2
    1.87536033563863-1.57079632675     		φ = 0.30456401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59854013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.293823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30456401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.450232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39011 KachelY 29541 0.59854013 0.30456401 34.293823 17.450232
    Oben rechts KachelX + 1 39012 KachelY 29541 0.59863600 0.30456401 34.299316 17.450232
    Unten links KachelX 39011 KachelY + 1 29542 0.59854013 0.30447255 34.293823 17.444992
    Unten rechts KachelX + 1 39012 KachelY + 1 29542 0.59863600 0.30447255 34.299316 17.444992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30456401-0.30447255) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dl = 582.691659999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30456401-0.30447255) × R
    9.14599999999877e-05 × 6371000     		dr = 582.691659999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59854013-0.59863600) × cos(0.30456401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.953977786727954 × 6371000     		do = 582.67796498509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59854013-0.59863600) × cos(0.30447255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954005209513869 × 6371000     		du = 582.694714487346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30456401)-sin(0.30447255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953977786727954-0.954005209513869)×R²
    abs(0.59863600-0.59854013)×2.74227859149434e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74227859149434e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74227859149434e-05×40589641000000     		ar = 339526.470796852m²