Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3901 / 1629
↖ ↑ ↗
← N 72.854981°
W  8.569336°		 ← 1 440.50 m → N 72.854981°
W  8.525391°		 →
↑
1 441.06 m
↓
↑
1 441.06 m
↓
N 72.842021°
W  8.569336°		 ← 1 441.55 m →
2 076 596 m²		 N 72.842021°
W  8.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47625732421875 y=0.19891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47625732421875 × 213)
    floor (0.47625732421875 × 8192)
    floor (3901.5)     		tx = 3901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19891357421875 × 213)
    floor (0.19891357421875 × 8192)
    floor (1629.5)     		ty = 1629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3901 / 1629 ti = "13/3901/1629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3901/1629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3901 ÷ 213
    3901 ÷ 8192     		x = 0.4761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1629 ÷ 213
    1629 ÷ 8192     		y = 0.1988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1988525390625 × 2 - 1) × π
    0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14956313} λ = -0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89216530180286))-π/2
    2×atan(6.63371714074865)-π/2
    2×1.42117780694239-π/2
    2.84235561388477-1.57079632675     		φ = 1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3901 KachelY 1629 -0.14956313 1.27155929 -8.569336 72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 3902 KachelY 1629 -0.14879614 1.27155929 -8.525391 72.854981
    Unten links KachelX 3901 KachelY + 1 1630 -0.14956313 1.27133310 -8.569336 72.842021
    Unten rechts KachelX + 1 3902 KachelY + 1 1630 -0.14879614 1.27133310 -8.525391 72.842021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27155929-1.27133310) × R
    0.000226189999999793 × 6371000     		dl = 1441.05648999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27155929-1.27133310) × R
    0.000226189999999793 × 6371000     		dr = 1441.05648999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14956313--0.14879614) × cos(1.27155929) × R
    0.000766989999999995 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 1440.49538752368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14956313--0.14879614) × cos(1.27133310) × R
    0.000766989999999995 × 0.295007365083296 × 6371000     		du = 1441.5515099801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27155929)-sin(1.27133310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.295007365083296)×R²
    abs(-0.14879614--0.14956313)×0.000216130953986815×R²
    0.000766989999999995×0.000216130953986815×6371000²
    0.000766989999999995×0.000216130953986815×40589641000000     		ar = 2076596.20191812m²