Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39007 / 28697
↖ ↑ ↗
← N 21.815608°
E 34.271850°		 ← 567.11 m → N 21.815608°
E 34.277344°		 →
↑
567.08 m
↓
↑
567.08 m
↓
N 21.810508°
E 34.271850°		 ← 567.13 m →
321 601 m²		 N 21.810508°
E 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595207214355469 y=0.437889099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595207214355469 × 216)
    floor (0.595207214355469 × 65536)
    floor (39007.5)     		tx = 39007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437889099121094 × 216)
    floor (0.437889099121094 × 65536)
    floor (28697.5)     		ty = 28697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39007 / 28697 ti = "16/39007/28697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39007/28697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39007 ÷ 216
    39007 ÷ 65536     		x = 0.595199584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28697 ÷ 216
    28697 ÷ 65536     		y = 0.437881469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595199584960938 × 2 - 1) × π
    0.190399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59815663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437881469726562 × 2 - 1) × π
    0.124237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.390302236706497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59815663} λ = 0.59815663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390302236706497))-π/2
    2×atan(1.47742725915904)-π/2
    2×0.975775258887423-π/2
    1.95155051777485-1.57079632675     		φ = 0.38075419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59815663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.271850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38075419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.815608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39007 KachelY 28697 0.59815663 0.38075419 34.271850 21.815608
    Oben rechts KachelX + 1 39008 KachelY 28697 0.59825251 0.38075419 34.277344 21.815608
    Unten links KachelX 39007 KachelY + 1 28698 0.59815663 0.38066518 34.271850 21.810508
    Unten rechts KachelX + 1 39008 KachelY + 1 28698 0.59825251 0.38066518 34.277344 21.810508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38075419-0.38066518) × R
    8.90100000000005e-05 × 6371000     		dl = 567.082710000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38075419-0.38066518) × R
    8.90100000000005e-05 × 6371000     		dr = 567.082710000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59815663-0.59825251) × cos(0.38075419) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928384626980807 × 6371000     		do = 567.105123400759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59815663-0.59825251) × cos(0.38066518) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.928417701266333 × 6371000     		du = 567.125326877022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38075419)-sin(0.38066518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928384626980807-0.928417701266333)×R²
    abs(0.59825251-0.59815663)×3.30742855262356e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.30742855262356e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.30742855262356e-05×40589641000000     		ar = 321601.238966321m²