Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39005 / 28766
↖ ↑ ↗
← N 21.463294°
E 34.260864°		 ← 568.43 m → N 21.463294°
E 34.266357°		 →
↑
568.48 m
↓
↑
568.48 m
↓
N 21.458181°
E 34.260864°		 ← 568.45 m →
323 150 m²		 N 21.458181°
E 34.266357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595176696777344 y=0.438941955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595176696777344 × 216)
    floor (0.595176696777344 × 65536)
    floor (39005.5)     		tx = 39005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438941955566406 × 216)
    floor (0.438941955566406 × 65536)
    floor (28766.5)     		ty = 28766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39005 / 28766 ti = "16/39005/28766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39005/28766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39005 ÷ 216
    39005 ÷ 65536     		x = 0.595169067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28766 ÷ 216
    28766 ÷ 65536     		y = 0.438934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595169067382812 × 2 - 1) × π
    0.190338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59796489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    0.12213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.383686944558929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59796489} λ = 0.59796489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383686944558929))-π/2
    2×atan(1.46768590269753)-π/2
    2×0.97270073283377-π/2
    1.94540146566754-1.57079632675     		φ = 0.37460514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59796489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.260864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37460514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.463294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39005 KachelY 28766 0.59796489 0.37460514 34.260864 21.463294
    Oben rechts KachelX + 1 39006 KachelY 28766 0.59806076 0.37460514 34.266357 21.463294
    Unten links KachelX 39005 KachelY + 1 28767 0.59796489 0.37451591 34.260864 21.458181
    Unten rechts KachelX + 1 39006 KachelY + 1 28767 0.59806076 0.37451591 34.266357 21.458181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37460514-0.37451591) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dl = 568.484329999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37460514-0.37451591) × R
    8.92299999999957e-05 × 6371000     		dr = 568.484329999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59796489-0.59806076) × cos(0.37460514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930652175739614 × 6371000     		do = 568.430967065634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59796489-0.59806076) × cos(0.37451591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930684821744963 × 6371000     		du = 568.450906846441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37460514)-sin(0.37451591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930652175739614-0.930684821744963)×R²
    abs(0.59806076-0.59796489)×3.26460053490241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26460053490241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26460053490241e-05×40589641000000     		ar = 323149.76540429m²