Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39003 / 28732
↖ ↑ ↗
← N 21.637005°
E 34.249878°		 ← 567.75 m → N 21.637005°
E 34.255371°		 →
↑
567.78 m
↓
↑
567.78 m
↓
N 21.631899°
E 34.249878°		 ← 567.77 m →
322 365 m²		 N 21.631899°
E 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595146179199219 y=0.438423156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595146179199219 × 216)
    floor (0.595146179199219 × 65536)
    floor (39003.5)     		tx = 39003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438423156738281 × 216)
    floor (0.438423156738281 × 65536)
    floor (28732.5)     		ty = 28732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39003 / 28732 ti = "16/39003/28732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39003/28732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39003 ÷ 216
    39003 ÷ 65536     		x = 0.595138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28732 ÷ 216
    28732 ÷ 65536     		y = 0.43841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595138549804688 × 2 - 1) × π
    0.190277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59777314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43841552734375 × 2 - 1) × π
    0.1231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.386946653733093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59777314} λ = 0.59777314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386946653733093))-π/2
    2×atan(1.4724779379768)-π/2
    2×0.974216653994796-π/2
    1.94843330798959-1.57079632675     		φ = 0.37763698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59777314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.249878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37763698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.637005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39003 KachelY 28732 0.59777314 0.37763698 34.249878 21.637005
    Oben rechts KachelX + 1 39004 KachelY 28732 0.59786901 0.37763698 34.255371 21.637005
    Unten links KachelX 39003 KachelY + 1 28733 0.59777314 0.37754786 34.249878 21.631899
    Unten rechts KachelX + 1 39004 KachelY + 1 28733 0.59786901 0.37754786 34.255371 21.631899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37763698-0.37754786) × R
    8.91199999999981e-05 × 6371000     		dl = 567.783519999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37763698-0.37754786) × R
    8.91199999999981e-05 × 6371000     		dr = 567.783519999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59777314-0.59786901) × cos(0.37763698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929538534481356 × 6371000     		do = 567.750768604923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59777314-0.59786901) × cos(0.37754786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929571391560405 × 6371000     		du = 567.770837306964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37763698)-sin(0.37754786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929538534481356-0.929571391560405)×R²
    abs(0.59786901-0.59777314)×3.28570790488758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28570790488758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28570790488758e-05×40589641000000     		ar = 322365.227433608m²