Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3900 / 1726
↖ ↑ ↗
← N 71.552740°
W  8.613281°		 ← 1 546.24 m → N 71.552740°
W  8.569336°		 →
↑
1 546.82 m
↓
↑
1 546.82 m
↓
N 71.538830°
W  8.613281°		 ← 1 547.37 m →
2 392 619 m²		 N 71.538830°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47613525390625 y=0.21075439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47613525390625 × 213)
    floor (0.47613525390625 × 8192)
    floor (3900.5)     		tx = 3900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21075439453125 × 213)
    floor (0.21075439453125 × 8192)
    floor (1726.5)     		ty = 1726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3900 / 1726 ti = "13/3900/1726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3900/1726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3900 ÷ 213
    3900 ÷ 8192     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1726 ÷ 213
    1726 ÷ 8192     		y = 0.210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210693359375 × 2 - 1) × π
    0.57861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81776723359253))-π/2
    2×atan(6.15809350433747)-π/2
    2×1.4098136199856-π/2
    2.8196272399712-1.57079632675     		φ = 1.24883091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24883091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.552740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3900 KachelY 1726 -0.15033012 1.24883091 -8.613281 71.552740
    Oben rechts KachelX + 1 3901 KachelY 1726 -0.14956313 1.24883091 -8.569336 71.552740
    Unten links KachelX 3900 KachelY + 1 1727 -0.15033012 1.24858812 -8.613281 71.538830
    Unten rechts KachelX + 1 3901 KachelY + 1 1727 -0.14956313 1.24858812 -8.569336 71.538830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24883091-1.24858812) × R
    0.000242789999999937 × 6371000     		dl = 1546.8150899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24883091-1.24858812) × R
    0.000242789999999937 × 6371000     		dr = 1546.8150899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.14956313) × cos(1.24883091) × R
    0.000766990000000023 × 0.316431595084411 × 6371000     		do = 1546.24086612402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.14956313) × cos(1.24858812) × R
    0.000766990000000023 × 0.316661900071944 × 6371000     		du = 1547.36624990025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24883091)-sin(1.24858812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316431595084411-0.316661900071944)×R²
    abs(-0.14956313--0.15033012)×0.000230304987532959×R²
    0.000766990000000023×0.000230304987532959×6371000²
    0.000766990000000023×0.000230304987532959×40589641000000     		ar = 2392619.09655035m²