Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3900 / 1628
↖ ↑ ↗
← N 72.867931°
W  8.613281°		 ← 1 439.44 m → N 72.867931°
W  8.569336°		 →
↑
1 439.97 m
↓
↑
1 439.97 m
↓
N 72.854981°
W  8.613281°		 ← 1 440.50 m →
2 073 515 m²		 N 72.854981°
W  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47613525390625 y=0.19879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47613525390625 × 213)
    floor (0.47613525390625 × 8192)
    floor (3900.5)     		tx = 3900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19879150390625 × 213)
    floor (0.19879150390625 × 8192)
    floor (1628.5)     		ty = 1628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3900 / 1628 ti = "13/3900/1628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3900/1628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3900 ÷ 213
    3900 ÷ 8192     		x = 0.47607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1628 ÷ 213
    1628 ÷ 8192     		y = 0.19873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19873046875 × 2 - 1) × π
    0.6025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89293229219678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15033012} λ = -0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89293229219678))-π/2
    2×atan(6.63880708979308)-π/2
    2×1.42129081654708-π/2
    2.84258163309417-1.57079632675     		φ = 1.27178531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27178531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.867931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3900 KachelY 1628 -0.15033012 1.27178531 -8.613281 72.867931
    Oben rechts KachelX + 1 3901 KachelY 1628 -0.14956313 1.27178531 -8.569336 72.867931
    Unten links KachelX 3900 KachelY + 1 1629 -0.15033012 1.27155929 -8.613281 72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 3901 KachelY + 1 1629 -0.14956313 1.27155929 -8.569336 72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27178531-1.27155929) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dl = 1439.97342000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27178531-1.27155929) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dr = 1439.97342000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15033012--0.14956313) × cos(1.27178531) × R
    0.000766990000000023 × 0.29457525055005 × 6371000     		do = 1439.43998521293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15033012--0.14956313) × cos(1.27155929) × R
    0.000766990000000023 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 1440.49538752373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27178531)-sin(1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29457525055005-0.294791234129309)×R²
    abs(-0.14956313--0.15033012)×0.000215983579258505×R²
    0.000766990000000023×0.000215983579258505×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215983579258505×40589641000000     		ar = 2073515.20285886m²