Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 390 / 453
↖ ↑ ↗
← N 20.303418°
W 42.890625°		 ← 36.663 km → N 20.303418°
W 42.539062°		 →
↑
36.702 km
↓
↑
36.702 km
↓
N 19.973349°
W 42.890625°		 ← 36.741 km →
1 347.04 km²		 N 19.973349°
W 42.539062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38134765625 y=0.44287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38134765625 × 210)
    floor (0.38134765625 × 1024)
    floor (390.5)     		tx = 390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44287109375 × 210)
    floor (0.44287109375 × 1024)
    floor (453.5)     		ty = 453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 390 / 453 ti = "10/390/453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/390/453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 390 ÷ 210
    390 ÷ 1024     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 453 ÷ 210
    453 ÷ 1024     		y = 0.4423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362019465930664))-π/2
    2×atan(1.43622689918148)-π/2
    2×0.962578905944964-π/2
    1.92515781188993-1.57079632675     		φ = 0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 390 KachelY 453 -0.74858262 0.35436149 -42.890625 20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 391 KachelY 453 -0.74244670 0.35436149 -42.539062 20.303418
    Unten links KachelX 390 KachelY + 1 454 -0.74858262 0.34860070 -42.890625 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 391 KachelY + 1 454 -0.74244670 0.34860070 -42.539062 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35436149-0.34860070) × R
    0.00576079000000002 × 6371000     		dl = 36701.9930900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35436149-0.34860070) × R
    0.00576079000000002 × 6371000     		dr = 36701.9930900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74244670) × cos(0.35436149) × R
    0.00613591999999996 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 36663.0947991589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74244670) × cos(0.34860070) × R
    0.00613591999999996 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 36740.6286840713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35436149)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.939851609928014)×R²
    abs(-0.74244670--0.74858262)×0.00198337233653467×R²
    0.00613591999999996×0.00198337233653467×6371000²
    0.00613591999999996×0.00198337233653467×40589641000000     		ar = 1347035201.33754m²