Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38999 / 29497
↖ ↑ ↗
← N 17.680662°
E 34.227905°		 ← 582 m → N 17.680662°
E 34.233399°		 →
↑
581.99 m
↓
↑
581.99 m
↓
N 17.675428°
E 34.227905°		 ← 582.01 m →
338 722 m²		 N 17.675428°
E 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595085144042969 y=0.450096130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595085144042969 × 216)
    floor (0.595085144042969 × 65536)
    floor (38999.5)     		tx = 38999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450096130371094 × 216)
    floor (0.450096130371094 × 65536)
    floor (29497.5)     		ty = 29497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38999 / 29497 ti = "16/38999/29497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38999/29497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38999 ÷ 216
    38999 ÷ 65536     		x = 0.595077514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29497 ÷ 216
    29497 ÷ 65536     		y = 0.450088500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595077514648438 × 2 - 1) × π
    0.190155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59738964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450088500976562 × 2 - 1) × π
    0.099822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.313603197314407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59738964} λ = 0.59738964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313603197314407))-π/2
    2×atan(1.36834666517685)-π/2
    2×0.939691042676715-π/2
    1.87938208535343-1.57079632675     		φ = 0.30858576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59738964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.227905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30858576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.680662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38999 KachelY 29497 0.59738964 0.30858576 34.227905 17.680662
    Oben rechts KachelX + 1 39000 KachelY 29497 0.59748552 0.30858576 34.233399 17.680662
    Unten links KachelX 38999 KachelY + 1 29498 0.59738964 0.30849441 34.227905 17.675428
    Unten rechts KachelX + 1 39000 KachelY + 1 29498 0.59748552 0.30849441 34.233399 17.675428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30858576-0.30849441) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dl = 581.990849999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30858576-0.30849441) × R
    9.13499999999901e-05 × 6371000     		dr = 581.990849999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59738964-0.59748552) × cos(0.30858576) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952764043498885 × 6371000     		do = 581.997326061697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59738964-0.59748552) × cos(0.30849441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.952791783569377 × 6371000     		du = 582.014271124812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30858576)-sin(0.30849441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952764043498885-0.952791783569377)×R²
    abs(0.59748552-0.59738964)×2.77400704913333e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.77400704913333e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.77400704913333e-05×40589641000000     		ar = 338722.049663774m²