Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38995 / 42322
↖ ↑ ↗
← S 46.384833°
E 34.205933°		 ← 421.33 m → S 46.384833°
E 34.211426°		 →
↑
421.38 m
↓
↑
421.38 m
↓
S 46.388623°
E 34.205933°		 ← 421.30 m →
177 532 m²		 S 46.388623°
E 34.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595024108886719 y=0.645790100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595024108886719 × 216)
    floor (0.595024108886719 × 65536)
    floor (38995.5)     		tx = 38995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645790100097656 × 216)
    floor (0.645790100097656 × 65536)
    floor (42322.5)     		ty = 42322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38995 / 42322 ti = "16/38995/42322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38995/42322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38995 ÷ 216
    38995 ÷ 65536     		x = 0.595016479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42322 ÷ 216
    42322 ÷ 65536     		y = 0.645782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595016479492188 × 2 - 1) × π
    0.190032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59700615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.29156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.915978277940033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59700615} λ = 0.59700615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915978277940033))-π/2
    2×atan(0.400125001101175)-π/2
    2×0.380614132037276-π/2
    0.761228264074553-1.57079632675     		φ = -0.80956806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59700615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.205933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80956806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.384833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38995 KachelY 42322 0.59700615 -0.80956806 34.205933 -46.384833
    Oben rechts KachelX + 1 38996 KachelY 42322 0.59710202 -0.80956806 34.211426 -46.384833
    Unten links KachelX 38995 KachelY + 1 42323 0.59700615 -0.80963420 34.205933 -46.388623
    Unten rechts KachelX + 1 38996 KachelY + 1 42323 0.59710202 -0.80963420 34.211426 -46.388623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80956806--0.80963420) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dl = 421.377939999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80956806--0.80963420) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dr = 421.377939999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59700615-0.59710202) × cos(-0.80956806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68981121722351 × 6371000     		do = 421.328255088924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59700615-0.59710202) × cos(-0.80963420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.689763331063455 × 6371000     		du = 421.29900680801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80956806)-sin(-0.80963420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68981121722351-0.689763331063455)×R²
    abs(0.59710202-0.59700615)×4.78861600551328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78861600551328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78861600551328e-05×40589641000000     		ar = 177532.26996723m²