Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38994 / 28718
↖ ↑ ↗
← N 21.708473°
E 34.200439°		 ← 567.53 m → N 21.708473°
E 34.205933°		 →
↑
567.53 m
↓
↑
567.53 m
↓
N 21.703369°
E 34.200439°		 ← 567.55 m →
322 094 m²		 N 21.703369°
E 34.205933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595008850097656 y=0.438209533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595008850097656 × 216)
    floor (0.595008850097656 × 65536)
    floor (38994.5)     		tx = 38994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438209533691406 × 216)
    floor (0.438209533691406 × 65536)
    floor (28718.5)     		ty = 28718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38994 / 28718 ti = "16/38994/28718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38994/28718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38994 ÷ 216
    38994 ÷ 65536     		x = 0.595001220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28718 ÷ 216
    28718 ÷ 65536     		y = 0.438201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595001220703125 × 2 - 1) × π
    0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438201904296875 × 2 - 1) × π
    0.12359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388288886922455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59691027} λ = 0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388288886922455))-π/2
    2×atan(1.47445567373011)-π/2
    2×0.974840328223031-π/2
    1.94968065644606-1.57079632675     		φ = 0.37888433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37888433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.708473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38994 KachelY 28718 0.59691027 0.37888433 34.200439 21.708473
    Oben rechts KachelX + 1 38995 KachelY 28718 0.59700615 0.37888433 34.205933 21.708473
    Unten links KachelX 38994 KachelY + 1 28719 0.59691027 0.37879525 34.200439 21.703369
    Unten rechts KachelX + 1 38995 KachelY + 1 28719 0.59700615 0.37879525 34.205933 21.703369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37888433-0.37879525) × R
    8.90800000000191e-05 × 6371000     		dl = 567.528680000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37888433-0.37879525) × R
    8.90800000000191e-05 × 6371000     		dr = 567.528680000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59691027-0.59700615) × cos(0.37888433) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.929077882367318 × 6371000     		do = 567.528599479627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59691027-0.59700615) × cos(0.37879525) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.929110827961616 × 6371000     		du = 567.548724344663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37888433)-sin(0.37879525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929077882367318-0.929110827961616)×R²
    abs(0.59700615-0.59691027)×3.29455942981172e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.29455942981172e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.29455942981172e-05×40589641000000     		ar = 322094.467857113m²