Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38991 / 28753
↖ ↑ ↗
← N 21.529737°
E 34.183960°		 ← 568.23 m → N 21.529737°
E 34.189453°		 →
↑
568.17 m
↓
↑
568.17 m
↓
N 21.524627°
E 34.183960°		 ← 568.25 m →
322 855 m²		 N 21.524627°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594963073730469 y=0.438743591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594963073730469 × 216)
    floor (0.594963073730469 × 65536)
    floor (38991.5)     		tx = 38991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438743591308594 × 216)
    floor (0.438743591308594 × 65536)
    floor (28753.5)     		ty = 28753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38991 / 28753 ti = "16/38991/28753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38991/28753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38991 ÷ 216
    38991 ÷ 65536     		x = 0.594955444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28753 ÷ 216
    28753 ÷ 65536     		y = 0.438735961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594955444335938 × 2 - 1) × π
    0.189910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59662265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438735961914062 × 2 - 1) × π
    0.122528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.384933303949051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59662265} λ = 0.59662265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384933303949051))-π/2
    2×atan(1.4695163072381)-π/2
    2×0.973280564017274-π/2
    1.94656112803455-1.57079632675     		φ = 0.37576480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59662265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.183960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37576480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.529737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38991 KachelY 28753 0.59662265 0.37576480 34.183960 21.529737
    Oben rechts KachelX + 1 38992 KachelY 28753 0.59671853 0.37576480 34.189453 21.529737
    Unten links KachelX 38991 KachelY + 1 28754 0.59662265 0.37567562 34.183960 21.524627
    Unten rechts KachelX + 1 38992 KachelY + 1 28754 0.59671853 0.37567562 34.189453 21.524627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37576480-0.37567562) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dl = 568.16578000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37576480-0.37567562) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dr = 568.16578000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59662265-0.59671853) × cos(0.37576480) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930227224573579 × 6371000     		do = 568.23067686669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59662265-0.59671853) × cos(0.37567562) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.930259948514183 × 6371000     		du = 568.25066633424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37576480)-sin(0.37567562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930227224573579-0.930259948514183)×R²
    abs(0.59671853-0.59662265)×3.27239406049395e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.27239406049395e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.27239406049395e-05×40589641000000     		ar = 322854.90462158m²