Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3899 / 2474
↖ ↑ ↗
← N 57.844751°
W  8.657227°		 ← 2 600.67 m → N 57.844751°
W  8.613281°		 →
↑
2 601.53 m
↓
↑
2 601.53 m
↓
N 57.821355°
W  8.657227°		 ← 2 602.36 m →
6 767 918 m²		 N 57.821355°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47601318359375 y=0.30206298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47601318359375 × 213)
    floor (0.47601318359375 × 8192)
    floor (3899.5)     		tx = 3899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30206298828125 × 213)
    floor (0.30206298828125 × 8192)
    floor (2474.5)     		ty = 2474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3899 / 2474 ti = "13/3899/2474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3899/2474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3899 ÷ 213
    3899 ÷ 8192     		x = 0.4759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2474 ÷ 213
    2474 ÷ 8192     		y = 0.302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302001953125 × 2 - 1) × π
    0.39599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2440584189397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15109711} λ = -0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2440584189397))-π/2
    2×atan(3.46966628873143)-π/2
    2×1.29018884329909-π/2
    2.58037768659818-1.57079632675     		φ = 1.00958136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00958136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.844751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3899 KachelY 2474 -0.15109711 1.00958136 -8.657227 57.844751
    Oben rechts KachelX + 1 3900 KachelY 2474 -0.15033012 1.00958136 -8.613281 57.844751
    Unten links KachelX 3899 KachelY + 1 2475 -0.15109711 1.00917302 -8.657227 57.821355
    Unten rechts KachelX + 1 3900 KachelY + 1 2475 -0.15033012 1.00917302 -8.613281 57.821355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00958136-1.00917302) × R
    0.000408340000000118 × 6371000     		dl = 2601.53414000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00958136-1.00917302) × R
    0.000408340000000118 × 6371000     		dr = 2601.53414000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.00958136) × R
    0.000766989999999995 × 0.532215192440623 × 6371000     		do = 2600.66596669715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.00917302) × R
    0.000766989999999995 × 0.532560852424716 × 6371000     		du = 2602.35503189004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00958136)-sin(1.00917302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532215192440623-0.532560852424716)×R²
    abs(-0.15033012--0.15109711)×0.000345659984092861×R²
    0.000766989999999995×0.000345659984092861×6371000²
    0.000766989999999995×0.000345659984092861×40589641000000     		ar = 6767918.4735269m²