Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3899 / 2121
↖ ↑ ↗
← N 65.201468°
W  8.657227°		 ← 2 049.54 m → N 65.201468°
W  8.613281°		 →
↑
2 050.25 m
↓
↑
2 050.25 m
↓
N 65.183030°
W  8.657227°		 ← 2 050.96 m →
4 203 528 m²		 N 65.183030°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47601318359375 y=0.25897216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47601318359375 × 213)
    floor (0.47601318359375 × 8192)
    floor (3899.5)     		tx = 3899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25897216796875 × 213)
    floor (0.25897216796875 × 8192)
    floor (2121.5)     		ty = 2121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3899 / 2121 ti = "13/3899/2121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3899/2121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3899 ÷ 213
    3899 ÷ 8192     		x = 0.4759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2121 ÷ 213
    2121 ÷ 8192     		y = 0.2589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2589111328125 × 2 - 1) × π
    0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15109711} λ = -0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51480602799377))-π/2
    2×atan(4.54853875208327)-π/2
    2×1.35438831393155-π/2
    2.7087766278631-1.57079632675     		φ = 1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3899 KachelY 2121 -0.15109711 1.13798030 -8.657227 65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 3900 KachelY 2121 -0.15033012 1.13798030 -8.613281 65.201468
    Unten links KachelX 3899 KachelY + 1 2122 -0.15109711 1.13765849 -8.657227 65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 3900 KachelY + 1 2122 -0.15033012 1.13765849 -8.613281 65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13798030-1.13765849) × R
    0.000321809999999978 × 6371000     		dl = 2050.25150999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13798030-1.13765849) × R
    0.000321809999999978 × 6371000     		dr = 2050.25150999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.13798030) × R
    0.000766989999999995 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 2049.53610508195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.13765849) × R
    0.000766989999999995 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 2050.96351625846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13798030)-sin(1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.419720931666003)×R²
    abs(-0.15033012--0.15109711)×0.00029211360617909×R²
    0.000766989999999995×0.00029211360617909×6371000²
    0.000766989999999995×0.00029211360617909×40589641000000     		ar = 4203527.8064788m²