Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3899 / 1609
↖ ↑ ↗
← N 73.112184°
W  8.657227°		 ← 1 419.52 m → N 73.112184°
W  8.613281°		 →
↑
1 420.03 m
↓
↑
1 420.03 m
↓
N 73.099413°
W  8.657227°		 ← 1 420.56 m →
2 016 504 m²		 N 73.099413°
W  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47601318359375 y=0.19647216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47601318359375 × 213)
    floor (0.47601318359375 × 8192)
    floor (3899.5)     		tx = 3899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19647216796875 × 213)
    floor (0.19647216796875 × 8192)
    floor (1609.5)     		ty = 1609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3899 / 1609 ti = "13/3899/1609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3899/1609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3899 ÷ 213
    3899 ÷ 8192     		x = 0.4759521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1609 ÷ 213
    1609 ÷ 8192     		y = 0.1964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1964111328125 × 2 - 1) × π
    0.607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90750510968127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15109711} λ = -0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90750510968127))-π/2
    2×atan(6.736261582424)-π/2
    2×1.42342232934817-π/2
    2.84684465869635-1.57079632675     		φ = 1.27604833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27604833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.112184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3899 KachelY 1609 -0.15109711 1.27604833 -8.657227 73.112184
    Oben rechts KachelX + 1 3900 KachelY 1609 -0.15033012 1.27604833 -8.613281 73.112184
    Unten links KachelX 3899 KachelY + 1 1610 -0.15109711 1.27582544 -8.657227 73.099413
    Unten rechts KachelX + 1 3900 KachelY + 1 1610 -0.15033012 1.27582544 -8.613281 73.099413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27604833-1.27582544) × R
    0.000222890000000087 × 6371000     		dl = 1420.03219000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27604833-1.27582544) × R
    0.000222890000000087 × 6371000     		dr = 1420.03219000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.27604833) × R
    0.000766989999999995 × 0.290498723687874 × 6371000     		do = 1419.52006405435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15109711--0.15033012) × cos(1.27582544) × R
    0.000766989999999995 × 0.290711994423421 × 6371000     		du = 1420.56221007256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27604833)-sin(1.27582544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290498723687874-0.290711994423421)×R²
    abs(-0.15033012--0.15109711)×0.000213270735547944×R²
    0.000766989999999995×0.000213270735547944×6371000²
    0.000766989999999995×0.000213270735547944×40589641000000     		ar = 2016504.13410275m²