Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38988 / 42381
↖ ↑ ↗
← S 46.607941°
E 34.167480°		 ← 419.65 m → S 46.607941°
E 34.172974°		 →
↑
419.59 m
↓
↑
419.59 m
↓
S 46.611715°
E 34.167480°		 ← 419.62 m →
176 075 m²		 S 46.611715°
E 34.172974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594917297363281 y=0.646690368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594917297363281 × 216)
    floor (0.594917297363281 × 65536)
    floor (38988.5)     		tx = 38988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646690368652344 × 216)
    floor (0.646690368652344 × 65536)
    floor (42381.5)     		ty = 42381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38988 / 42381 ti = "16/38988/42381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38988/42381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38988 ÷ 216
    38988 ÷ 65536     		x = 0.59490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42381 ÷ 216
    42381 ÷ 65536     		y = 0.646682739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59490966796875 × 2 - 1) × π
    0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646682739257812 × 2 - 1) × π
    -0.293365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9216348320952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59633503} λ = 0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9216348320952))-π/2
    2×atan(0.397868061631641)-π/2
    2×0.378667149170416-π/2
    0.757334298340831-1.57079632675     		φ = -0.81346203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81346203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.607941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38988 KachelY 42381 0.59633503 -0.81346203 34.167480 -46.607941
    Oben rechts KachelX + 1 38989 KachelY 42381 0.59643091 -0.81346203 34.172974 -46.607941
    Unten links KachelX 38988 KachelY + 1 42382 0.59633503 -0.81352789 34.167480 -46.611715
    Unten rechts KachelX + 1 38989 KachelY + 1 42382 0.59643091 -0.81352789 34.172974 -46.611715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81346203--0.81352789) × R
    6.58600000000842e-05 × 6371000     		dl = 419.594060000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81346203--0.81352789) × R
    6.58600000000842e-05 × 6371000     		dr = 419.594060000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59633503-0.59643091) × cos(-0.81346203) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.686986801994558 × 6371000     		do = 419.646904739054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59633503-0.59643091) × cos(-0.81352789) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.686938942025501 × 6371000     		du = 419.617669406122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81346203)-sin(-0.81352789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686986801994558-0.686938942025501)×R²
    abs(0.59643091-0.59633503)×4.78599690569848e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78599690569848e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78599690569848e-05×40589641000000     		ar = 176075.21510408m²