Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38987 / 42347
↖ ↑ ↗
← S 46.479482°
E 34.161987°		 ← 420.60 m → S 46.479482°
E 34.167480°		 →
↑
420.61 m
↓
↑
420.61 m
↓
S 46.483265°
E 34.161987°		 ← 420.57 m →
176 903 m²		 S 46.483265°
E 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594902038574219 y=0.646171569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594902038574219 × 216)
    floor (0.594902038574219 × 65536)
    floor (38987.5)     		tx = 38987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646171569824219 × 216)
    floor (0.646171569824219 × 65536)
    floor (42347.5)     		ty = 42347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38987 / 42347 ti = "16/38987/42347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38987/42347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38987 ÷ 216
    38987 ÷ 65536     		x = 0.594894409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42347 ÷ 216
    42347 ÷ 65536     		y = 0.646163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594894409179688 × 2 - 1) × π
    0.189788818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59623916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646163940429688 × 2 - 1) × π
    -0.292327880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.918375122921036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59623916} λ = 0.59623916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918375122921036))-π/2
    2×atan(0.399167111915035)-π/2
    2×0.379788163993213-π/2
    0.759576327986427-1.57079632675     		φ = -0.81122000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59623916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.161987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81122000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.479482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38987 KachelY 42347 0.59623916 -0.81122000 34.161987 -46.479482
    Oben rechts KachelX + 1 38988 KachelY 42347 0.59633503 -0.81122000 34.167480 -46.479482
    Unten links KachelX 38987 KachelY + 1 42348 0.59623916 -0.81128602 34.161987 -46.483265
    Unten rechts KachelX + 1 38988 KachelY + 1 42348 0.59633503 -0.81128602 34.167480 -46.483265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81122000--0.81128602) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dl = 420.61342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81122000--0.81128602) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dr = 420.61342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59623916-0.59633503) × cos(-0.81122000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		do = 420.597186392045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59623916-0.59633503) × cos(-0.81128602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688566415253978 × 6371000     		du = 420.567945269862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81122000)-sin(-0.81128602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688614289693544-0.688566415253978)×R²
    abs(0.59633503-0.59623916)×4.78744395662201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78744395662201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78744395662201e-05×40589641000000     		ar = 176902.671470756m²