Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38986 / 29528
↖ ↑ ↗
← N 17.518344°
E 34.156494°		 ← 582.52 m → N 17.518344°
E 34.161987°		 →
↑
582.50 m
↓
↑
582.50 m
↓
N 17.513106°
E 34.156494°		 ← 582.54 m →
339 323 m²		 N 17.513106°
E 34.161987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594886779785156 y=0.450569152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594886779785156 × 216)
    floor (0.594886779785156 × 65536)
    floor (38986.5)     		tx = 38986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450569152832031 × 216)
    floor (0.450569152832031 × 65536)
    floor (29528.5)     		ty = 29528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38986 / 29528 ti = "16/38986/29528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38986/29528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38986 ÷ 216
    38986 ÷ 65536     		x = 0.594879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29528 ÷ 216
    29528 ÷ 65536     		y = 0.4505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594879150390625 × 2 - 1) × π
    0.18975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59614328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    0.098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59614328} λ = 0.59614328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.310631109537964))-π/2
    2×atan(1.36428585630874)-π/2
    2×0.938274556181032-π/2
    1.87654911236206-1.57079632675     		φ = 0.30575279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59614328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.156494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30575279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.518344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38986 KachelY 29528 0.59614328 0.30575279 34.156494 17.518344
    Oben rechts KachelX + 1 38987 KachelY 29528 0.59623916 0.30575279 34.161987 17.518344
    Unten links KachelX 38986 KachelY + 1 29529 0.59614328 0.30566136 34.156494 17.513106
    Unten rechts KachelX + 1 38987 KachelY + 1 29529 0.59623916 0.30566136 34.161987 17.513106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30575279-0.30566136) × R
    9.14300000000035e-05 × 6371000     		dl = 582.500530000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30575279-0.30566136) × R
    9.14300000000035e-05 × 6371000     		dr = 582.500530000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59614328-0.59623916) × cos(0.30575279) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.953620624620632 × 6371000     		do = 582.520569907656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59614328-0.59623916) × cos(0.30566136) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.953648142082935 × 6371000     		du = 582.537378990229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30575279)-sin(0.30566136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953620624620632-0.953648142082935)×R²
    abs(0.59623916-0.59614328)×2.7517462302451e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7517462302451e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7517462302451e-05×40589641000000     		ar = 339323.436593215m²