Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38984 / 42389
↖ ↑ ↗
← S 46.638122°
E 34.145508°		 ← 419.37 m → S 46.638122°
E 34.151001°		 →
↑
419.40 m
↓
↑
419.40 m
↓
S 46.641894°
E 34.145508°		 ← 419.34 m →
175 879 m²		 S 46.641894°
E 34.151001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594856262207031 y=0.646812438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594856262207031 × 216)
    floor (0.594856262207031 × 65536)
    floor (38984.5)     		tx = 38984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646812438964844 × 216)
    floor (0.646812438964844 × 65536)
    floor (42389.5)     		ty = 42389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38984 / 42389 ti = "16/38984/42389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38984/42389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38984 ÷ 216
    38984 ÷ 65536     		x = 0.5948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42389 ÷ 216
    42389 ÷ 65536     		y = 0.646804809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5948486328125 × 2 - 1) × π
    0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646804809570312 × 2 - 1) × π
    -0.293609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.922401822489121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59595154} λ = 0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922401822489121))-π/2
    2×atan(0.397563017648178)-π/2
    2×0.378403766448074-π/2
    0.756807532896148-1.57079632675     		φ = -0.81398879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81398879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.638122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38984 KachelY 42389 0.59595154 -0.81398879 34.145508 -46.638122
    Oben rechts KachelX + 1 38985 KachelY 42389 0.59604741 -0.81398879 34.151001 -46.638122
    Unten links KachelX 38984 KachelY + 1 42390 0.59595154 -0.81405462 34.145508 -46.641894
    Unten rechts KachelX + 1 38985 KachelY + 1 42390 0.59604741 -0.81405462 34.151001 -46.641894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81398879--0.81405462) × R
    6.58299999999334e-05 × 6371000     		dl = 419.402929999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81398879--0.81405462) × R
    6.58299999999334e-05 × 6371000     		dr = 419.402929999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(-0.81398879) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.686603926068039 × 6371000     		do = 419.369280876819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(-0.81405462) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.686556064085529 × 6371000     		du = 419.340047363254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81398879)-sin(-0.81405462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686603926068039-0.686556064085529)×R²
    abs(0.59604741-0.59595154)×4.78619825096116e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.78619825096116e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.78619825096116e-05×40589641000000     		ar = 175878.574904617m²