Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38984 / 42383
↖ ↑ ↗
← S 46.615488°
E 34.145508°		 ← 419.54 m → S 46.615488°
E 34.151001°		 →
↑
419.53 m
↓
↑
419.53 m
↓
S 46.619261°
E 34.145508°		 ← 419.52 m →
176 006 m²		 S 46.619261°
E 34.151001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594856262207031 y=0.646720886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594856262207031 × 216)
    floor (0.594856262207031 × 65536)
    floor (38984.5)     		tx = 38984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646720886230469 × 216)
    floor (0.646720886230469 × 65536)
    floor (42383.5)     		ty = 42383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38984 / 42383 ti = "16/38984/42383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38984/42383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38984 ÷ 216
    38984 ÷ 65536     		x = 0.5948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42383 ÷ 216
    42383 ÷ 65536     		y = 0.646713256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5948486328125 × 2 - 1) × π
    0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646713256835938 × 2 - 1) × π
    -0.293426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.92182657969368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59595154} λ = 0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92182657969368))-π/2
    2×atan(0.397791778700079)-π/2
    2×0.378601289724206-π/2
    0.757202579448411-1.57079632675     		φ = -0.81359375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81359375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.615488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38984 KachelY 42383 0.59595154 -0.81359375 34.145508 -46.615488
    Oben rechts KachelX + 1 38985 KachelY 42383 0.59604741 -0.81359375 34.151001 -46.615488
    Unten links KachelX 38984 KachelY + 1 42384 0.59595154 -0.81365960 34.145508 -46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 38985 KachelY + 1 42384 0.59604741 -0.81365960 34.151001 -46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81359375--0.81365960) × R
    6.58500000000339e-05 × 6371000     		dl = 419.530350000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81359375--0.81365960) × R
    6.58500000000339e-05 × 6371000     		dr = 419.530350000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(-0.81359375) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.686891079076819 × 6371000     		do = 419.544670422701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(-0.81365960) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 419.515438938458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81359375)-sin(-0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686891079076819-0.686843220416776)×R²
    abs(0.59604741-0.59595154)×4.78586600429765e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.78586600429765e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.78586600429765e-05×40589641000000     		ar = 176005.590739057m²