Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38984 / 29512
↖ ↑ ↗
← N 17.602139°
E 34.145508°		 ← 582.19 m → N 17.602139°
E 34.151001°		 →
↑
582.18 m
↓
↑
582.18 m
↓
N 17.596903°
E 34.145508°		 ← 582.21 m →
338 946 m²		 N 17.596903°
E 34.151001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594856262207031 y=0.450325012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594856262207031 × 216)
    floor (0.594856262207031 × 65536)
    floor (38984.5)     		tx = 38984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450325012207031 × 216)
    floor (0.450325012207031 × 65536)
    floor (29512.5)     		ty = 29512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38984 / 29512 ti = "16/38984/29512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38984/29512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38984 ÷ 216
    38984 ÷ 65536     		x = 0.5948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29512 ÷ 216
    29512 ÷ 65536     		y = 0.4503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5948486328125 × 2 - 1) × π
    0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4503173828125 × 2 - 1) × π
    0.099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312165090325806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59595154} λ = 0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312165090325806))-π/2
    2×atan(1.36638025057102)-π/2
    2×0.939005804941486-π/2
    1.87801160988297-1.57079632675     		φ = 0.30721528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30721528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.602139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38984 KachelY 29512 0.59595154 0.30721528 34.145508 17.602139
    Oben rechts KachelX + 1 38985 KachelY 29512 0.59604741 0.30721528 34.151001 17.602139
    Unten links KachelX 38984 KachelY + 1 29513 0.59595154 0.30712390 34.145508 17.596903
    Unten rechts KachelX + 1 38985 KachelY + 1 29513 0.59604741 0.30712390 34.151001 17.596903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30721528-0.30712390) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dl = 582.181979999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30721528-0.30712390) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dr = 582.181979999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(0.30721528) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.953179379162112 × 6371000     		do = 582.190307409073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59595154-0.59604741) × cos(0.30712390) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.953207008994685 × 6371000     		du = 582.207183372895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30721528)-sin(0.30712390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953179379162112-0.953207008994685)×R²
    abs(0.59604741-0.59595154)×2.76298325724289e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.76298325724289e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.76298325724289e-05×40589641000000     		ar = 338945.618581058m²