Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38982 / 42384
↖ ↑ ↗
← S 46.619261°
E 34.134522°		 ← 419.52 m → S 46.619261°
E 34.140015°		 →
↑
419.53 m
↓
↑
419.53 m
↓
S 46.623034°
E 34.134522°		 ← 419.49 m →
175 993 m²		 S 46.623034°
E 34.140015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594825744628906 y=0.646736145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594825744628906 × 216)
    floor (0.594825744628906 × 65536)
    floor (38982.5)     		tx = 38982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646736145019531 × 216)
    floor (0.646736145019531 × 65536)
    floor (42384.5)     		ty = 42384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38982 / 42384 ti = "16/38982/42384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38982/42384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38982 ÷ 216
    38982 ÷ 65536     		x = 0.594818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42384 ÷ 216
    42384 ÷ 65536     		y = 0.646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594818115234375 × 2 - 1) × π
    0.18963623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.59575979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59575979} λ = 0.59575979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92192245349292))-π/2
    2×atan(0.397753642719098)-π/2
    2×0.37856836344255-π/2
    0.757136726885099-1.57079632675     		φ = -0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59575979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.134522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38982 KachelY 42384 0.59575979 -0.81365960 34.134522 -46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 38983 KachelY 42384 0.59585566 -0.81365960 34.140015 -46.619261
    Unten links KachelX 38982 KachelY + 1 42385 0.59575979 -0.81372545 34.134522 -46.623034
    Unten rechts KachelX + 1 38983 KachelY + 1 42385 0.59585566 -0.81372545 34.140015 -46.623034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81365960--0.81372545) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dl = 419.530349999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81365960--0.81372545) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dr = 419.530349999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59575979-0.59585566) × cos(-0.81365960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 419.515438937972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59575979-0.59585566) × cos(-0.81372545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686795358778429 × 6371000     		du = 419.486205634617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81365960)-sin(-0.81372545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.686795358778429)×R²
    abs(0.59585566-0.59575979)×4.78616383479125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78616383479125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78616383479125e-05×40589641000000     		ar = 175993.326862678m²