Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38981 / 42363
↖ ↑ ↗
← S 46.539971°
E 34.129028°		 ← 420.17 m → S 46.539971°
E 34.134522°		 →
↑
420.17 m
↓
↑
420.17 m
↓
S 46.543750°
E 34.129028°		 ← 420.14 m →
176 537 m²		 S 46.543750°
E 34.134522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594810485839844 y=0.646415710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594810485839844 × 216)
    floor (0.594810485839844 × 65536)
    floor (38981.5)     		tx = 38981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646415710449219 × 216)
    floor (0.646415710449219 × 65536)
    floor (42363.5)     		ty = 42363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38981 / 42363 ti = "16/38981/42363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38981/42363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38981 ÷ 216
    38981 ÷ 65536     		x = 0.594802856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42363 ÷ 216
    42363 ÷ 65536     		y = 0.646408081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594802856445312 × 2 - 1) × π
    0.189605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59566391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646408081054688 × 2 - 1) × π
    -0.292816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919909103708878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59566391} λ = 0.59566391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919909103708878))-π/2
    2×atan(0.398555266633649)-π/2
    2×0.379260297181418-π/2
    0.758520594362836-1.57079632675     		φ = -0.81227573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59566391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.129028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81227573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.539971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38981 KachelY 42363 0.59566391 -0.81227573 34.129028 -46.539971
    Oben rechts KachelX + 1 38982 KachelY 42363 0.59575979 -0.81227573 34.134522 -46.539971
    Unten links KachelX 38981 KachelY + 1 42364 0.59566391 -0.81234168 34.129028 -46.543750
    Unten rechts KachelX + 1 38982 KachelY + 1 42364 0.59575979 -0.81234168 34.134522 -46.543750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81227573--0.81234168) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dl = 420.167449999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81227573--0.81234168) × R
    6.59499999999813e-05 × 6371000     		dr = 420.167449999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59566391-0.59575979) × cos(-0.81227573) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.687848366885984 × 6371000     		do = 420.173192928097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59566391-0.59575979) × cos(-0.81234168) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.68780049529183 × 6371000     		du = 420.143950493958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81227573)-sin(-0.81234168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687848366885984-0.68780049529183)×R²
    abs(0.59575979-0.59566391)×4.78715941538699e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78715941538699e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78715941538699e-05×40589641000000     		ar = 176536.955735314m²