Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3898 / 2136
↖ ↑ ↗
← N 64.923542°
W  8.701172°		 ← 2 071.03 m → N 64.923542°
W  8.657227°		 →
↑
2 071.79 m
↓
↑
2 071.79 m
↓
N 64.904910°
W  8.701172°		 ← 2 072.47 m →
4 292 219 m²		 N 64.904910°
W  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47589111328125 y=0.26080322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47589111328125 × 213)
    floor (0.47589111328125 × 8192)
    floor (3898.5)     		tx = 3898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26080322265625 × 213)
    floor (0.26080322265625 × 8192)
    floor (2136.5)     		ty = 2136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3898 / 2136 ti = "13/3898/2136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3898/2136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3898 ÷ 213
    3898 ÷ 8192     		x = 0.475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2136 ÷ 213
    2136 ÷ 8192     		y = 0.2607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15186410} λ = -0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50330117208496))-π/2
    2×atan(4.49650834421912)-π/2
    2×1.35196294612457-π/2
    2.70392589224915-1.57079632675     		φ = 1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3898 KachelY 2136 -0.15186410 1.13312957 -8.701172 64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 3899 KachelY 2136 -0.15109711 1.13312957 -8.657227 64.923542
    Unten links KachelX 3898 KachelY + 1 2137 -0.15186410 1.13280438 -8.701172 64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 3899 KachelY + 1 2137 -0.15109711 1.13280438 -8.657227 64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13312957-1.13280438) × R
    0.000325189999999864 × 6371000     		dl = 2071.78548999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13312957-1.13280438) × R
    0.000325189999999864 × 6371000     		dr = 2071.78548999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15186410--0.15109711) × cos(1.13312957) × R
    0.000766989999999995 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 2071.02926684875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15186410--0.15109711) × cos(1.13280438) × R
    0.000766989999999995 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 2072.46841807814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13312957)-sin(1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.424121818057005)×R²
    abs(-0.15109711--0.15186410)×0.000294516157903879×R²
    0.000766989999999995×0.000294516157903879×6371000²
    0.000766989999999995×0.000294516157903879×40589641000000     		ar = 4292219.22856147m²