Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38979 / 42376
↖ ↑ ↗
← S 46.589069°
E 34.118042°		 ← 419.75 m → S 46.589069°
E 34.123535°		 →
↑
419.79 m
↓
↑
419.79 m
↓
S 46.592844°
E 34.118042°		 ← 419.72 m →
176 198 m²		 S 46.592844°
E 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594779968261719 y=0.646614074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594779968261719 × 216)
    floor (0.594779968261719 × 65536)
    floor (38979.5)     		tx = 38979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646614074707031 × 216)
    floor (0.646614074707031 × 65536)
    floor (42376.5)     		ty = 42376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38979 / 42376 ti = "16/38979/42376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38979/42376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38979 ÷ 216
    38979 ÷ 65536     		x = 0.594772338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42376 ÷ 216
    42376 ÷ 65536     		y = 0.6466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594772338867188 × 2 - 1) × π
    0.189544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59547217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.921155463098999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59547217} λ = 0.59547217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921155463098999))-π/2
    2×atan(0.398058832966244)-π/2
    2×0.378831837936971-π/2
    0.757663675873942-1.57079632675     		φ = -0.81313265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59547217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.118042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81313265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.589069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38979 KachelY 42376 0.59547217 -0.81313265 34.118042 -46.589069
    Oben rechts KachelX + 1 38980 KachelY 42376 0.59556804 -0.81313265 34.123535 -46.589069
    Unten links KachelX 38979 KachelY + 1 42377 0.59547217 -0.81319854 34.118042 -46.592844
    Unten rechts KachelX + 1 38980 KachelY + 1 42377 0.59556804 -0.81319854 34.123535 -46.592844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81313265--0.81319854) × R
    6.58900000000129e-05 × 6371000     		dl = 419.785190000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81313265--0.81319854) × R
    6.58900000000129e-05 × 6371000     		dr = 419.785190000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59547217-0.59556804) × cos(-0.81313265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687226115253693 × 6371000     		do = 419.749306421557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59547217-0.59556804) × cos(-0.81319854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687178248394829 × 6371000     		du = 419.720069929575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81313265)-sin(-0.81319854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687226115253693-0.687178248394829)×R²
    abs(0.59556804-0.59547217)×4.78668588635989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78668588635989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78668588635989e-05×40589641000000     		ar = 176198.405889251m²