Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38977 / 42354
↖ ↑ ↗
← S 46.505955°
E 34.107056°		 ← 420.39 m → S 46.505955°
E 34.112549°		 →
↑
420.36 m
↓
↑
420.36 m
↓
S 46.509735°
E 34.107056°		 ← 420.36 m →
176 709 m²		 S 46.509735°
E 34.112549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594749450683594 y=0.646278381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594749450683594 × 216)
    floor (0.594749450683594 × 65536)
    floor (38977.5)     		tx = 38977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646278381347656 × 216)
    floor (0.646278381347656 × 65536)
    floor (42354.5)     		ty = 42354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38977 / 42354 ti = "16/38977/42354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38977/42354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38977 ÷ 216
    38977 ÷ 65536     		x = 0.594741821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42354 ÷ 216
    42354 ÷ 65536     		y = 0.646270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594741821289062 × 2 - 1) × π
    0.189483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59528042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.29254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.919046239515717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59528042} λ = 0.59528042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919046239515717))-π/2
    2×atan(0.398899314114003)-π/2
    2×0.379557149978075-π/2
    0.75911429995615-1.57079632675     		φ = -0.81168203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59528042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.107056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81168203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.505955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38977 KachelY 42354 0.59528042 -0.81168203 34.107056 -46.505955
    Oben rechts KachelX + 1 38978 KachelY 42354 0.59537629 -0.81168203 34.112549 -46.505955
    Unten links KachelX 38977 KachelY + 1 42355 0.59528042 -0.81174801 34.107056 -46.509735
    Unten rechts KachelX + 1 38978 KachelY + 1 42355 0.59537629 -0.81174801 34.112549 -46.509735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81168203--0.81174801) × R
    6.597999999991e-05 × 6371000     		dl = 420.358579999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81168203--0.81174801) × R
    6.597999999991e-05 × 6371000     		dr = 420.358579999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59528042-0.59537629) × cos(-0.81168203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688279185397458 × 6371000     		do = 420.39250878632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59528042-0.59537629) × cos(-0.81174801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688231318978432 × 6371000     		du = 420.363272562986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81168203)-sin(-0.81174801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688279185397458-0.688231318978432)×R²
    abs(0.59537629-0.59528042)×4.7866419025655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7866419025655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7866419025655e-05×40589641000000     		ar = 176709.453251198m²