Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38976 / 42360
↖ ↑ ↗
← S 46.528635°
E 34.101563°		 ← 420.22 m → S 46.528635°
E 34.107056°		 →
↑
420.23 m
↓
↑
420.23 m
↓
S 46.532414°
E 34.101563°		 ← 420.19 m →
176 582 m²		 S 46.532414°
E 34.107056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594734191894531 y=0.646369934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594734191894531 × 216)
    floor (0.594734191894531 × 65536)
    floor (38976.5)     		tx = 38976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646369934082031 × 216)
    floor (0.646369934082031 × 65536)
    floor (42360.5)     		ty = 42360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38976 / 42360 ti = "16/38976/42360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38976/42360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38976 ÷ 216
    38976 ÷ 65536     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42360 ÷ 216
    42360 ÷ 65536     		y = 0.6463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.919621482311157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919621482311157))-π/2
    2×atan(0.398669916143543)-π/2
    2×0.379359227461411-π/2
    0.758718454922821-1.57079632675     		φ = -0.81207787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81207787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.528635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38976 KachelY 42360 0.59518455 -0.81207787 34.101563 -46.528635
    Oben rechts KachelX + 1 38977 KachelY 42360 0.59528042 -0.81207787 34.107056 -46.528635
    Unten links KachelX 38976 KachelY + 1 42361 0.59518455 -0.81214383 34.101563 -46.532414
    Unten rechts KachelX + 1 38977 KachelY + 1 42361 0.59528042 -0.81214383 34.107056 -46.532414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81207787--0.81214383) × R
    6.59600000000315e-05 × 6371000     		dl = 420.231160000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81207787--0.81214383) × R
    6.59600000000315e-05 × 6371000     		dr = 420.231160000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59528042) × cos(-0.81207787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687991970974419 × 6371000     		do = 420.217081729361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59528042) × cos(-0.81214383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687944101098895 × 6371000     		du = 420.187843394839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81207787)-sin(-0.81214383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687991970974419-0.687944101098895)×R²
    abs(0.59528042-0.59518455)×4.78698755241869e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78698755241869e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78698755241869e-05×40589641000000     		ar = 176582.168341228m²