Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38974 / 42372
↖ ↑ ↗
← S 46.573967°
E 34.090576°		 ← 419.87 m → S 46.573967°
E 34.096069°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
S 46.577743°
E 34.090576°		 ← 419.84 m →
176 274 m²		 S 46.577743°
E 34.096069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594703674316406 y=0.646553039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594703674316406 × 216)
    floor (0.594703674316406 × 65536)
    floor (38974.5)     		tx = 38974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646553039550781 × 216)
    floor (0.646553039550781 × 65536)
    floor (42372.5)     		ty = 42372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38974 / 42372 ti = "16/38974/42372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38974/42372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38974 ÷ 216
    38974 ÷ 65536     		x = 0.594696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42372 ÷ 216
    42372 ÷ 65536     		y = 0.64654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594696044921875 × 2 - 1) × π
    0.18939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59499280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.2930908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.920771967902039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59499280} λ = 0.59499280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920771967902039))-π/2
    2×atan(0.398211515891507)-π/2
    2×0.378963630249531-π/2
    0.757927260499062-1.57079632675     		φ = -0.81286907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59499280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81286907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.573967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38974 KachelY 42372 0.59499280 -0.81286907 34.090576 -46.573967
    Oben rechts KachelX + 1 38975 KachelY 42372 0.59508867 -0.81286907 34.096069 -46.573967
    Unten links KachelX 38974 KachelY + 1 42373 0.59499280 -0.81293497 34.090576 -46.577743
    Unten rechts KachelX + 1 38975 KachelY + 1 42373 0.59508867 -0.81293497 34.096069 -46.577743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81286907--0.81293497) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dl = 419.848900000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81286907--0.81293497) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dr = 419.848900000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59499280-0.59508867) × cos(-0.81286907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68741756737645 × 6371000     		do = 419.866243036677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59499280-0.59508867) × cos(-0.81293497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687369705191009 × 6371000     		du = 419.837009399164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81286907)-sin(-0.81293497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68741756737645-0.687369705191009)×R²
    abs(0.59508867-0.59499280)×4.7862185441061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7862185441061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7862185441061e-05×40589641000000     		ar = 176274.24349485m²