Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38973 / 42371
↖ ↑ ↗
← S 46.570191°
E 34.085083°		 ← 419.94 m → S 46.570191°
E 34.090576°		 →
↑
419.91 m
↓
↑
419.91 m
↓
S 46.573967°
E 34.085083°		 ← 419.91 m →
176 332 m²		 S 46.573967°
E 34.090576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.594688415527344 y=0.646537780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.594688415527344 × 216)
    floor (0.594688415527344 × 65536)
    floor (38973.5)     		tx = 38973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646537780761719 × 216)
    floor (0.646537780761719 × 65536)
    floor (42371.5)     		ty = 42371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38973 / 42371 ti = "16/38973/42371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38973/42371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38973 ÷ 216
    38973 ÷ 65536     		x = 0.594680786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42371 ÷ 216
    42371 ÷ 65536     		y = 0.646530151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594680786132812 × 2 - 1) × π
    0.189361572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.59489692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646530151367188 × 2 - 1) × π
    -0.293060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.920676094102798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59489692} λ = 0.59489692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920676094102798))-π/2
    2×atan(0.398249695772632)-π/2
    2×0.378996584063826-π/2
    0.757993168127653-1.57079632675     		φ = -0.81280316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59489692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.085083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81280316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.570191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38973 KachelY 42371 0.59489692 -0.81280316 34.085083 -46.570191
    Oben rechts KachelX + 1 38974 KachelY 42371 0.59499280 -0.81280316 34.090576 -46.570191
    Unten links KachelX 38973 KachelY + 1 42372 0.59489692 -0.81286907 34.085083 -46.573967
    Unten rechts KachelX + 1 38974 KachelY + 1 42372 0.59499280 -0.81286907 34.090576 -46.573967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81280316--0.81286907) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dl = 419.912610000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81280316--0.81286907) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dr = 419.912610000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59489692-0.59499280) × cos(-0.81280316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		do = 419.93927770896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59489692-0.59499280) × cos(-0.81286907) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.68741756737645 × 6371000     		du = 419.910038409629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81280316)-sin(-0.81286907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687465433838738-0.68741756737645)×R²
    abs(0.59499280-0.59489692)×4.78664622881597e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78664622881597e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78664622881597e-05×40589641000000     		ar = 176331.659232864m²